Coq：目标只是一种类型（当使用带有不必要参数的定理时）
Coq: goal is just a type (when using theorems with unnecessary arguments)
我在 Coq 中发现了一个奇怪的怪癖。当你有一个带有不必要参数的定理时，就会发生这种情况，我们对这个定理使用 rewrite。例如，考虑以下代码片段。
Theorem foo : forall (k : nat) (x : bool), k=0+k.
Proof. reflexivity. Qed.
Theorem bar : forall (k : nat), 0+k=k.
Proof.
intros k. rewrite foo. reflexivity.
(* At this point, the goal is just "bool"! *)
Abort.
在这个例子中，foo 有一个多余的参数 x。然后，当我在 bar 的证明中使用 rewrite foo 时，它会生成一个目标，它只是读取“bool”。
我的第一个问题是：为什么会产生这样的目标？
其次，我发现可以使用 assumption 策略来完成此目标。但是，这并没有真正说明目标是如何解决的。还有什么战术可以用来完成这样的目标？
目标 bool 是在您应用 rewrite foo. 策略时创建的。
此时，您要求 Coq 找到表达式 ek : nat 和 ex : bool，以便 foo ek ex 的左侧出现在目标中。使用合一，Coq 推断出 ek := k 是一个合理的选择，但是它没有得到 ex 的任何信息，因为变量 x 没有出现在 foo 的陪域中。因此，它创建了一个新目标，以便您作为用户可以将缺少的参数填充到 foo.
现在，由于该参数实际上未被使用，您可以通过多种方式实现该目标：您可以提供具体的布尔值 exact true. 或 exact false，将其留给自动化 constructor. 或使用您在上下文中拥有的任何布尔值（实际上我对假设的行为感到有点惊讶是您的上下文已关闭，如您的示例所示）。
您还可以在 Coq 创建目标之前提供参数，例如使用 rewrite (foo k true).。
kyo 很好地回答了您的问题，但我记得对此感到困惑，所以这里有一些额外的背景信息：
在 Coq 中，说 X 成立（比如，这是一个目标，现在它被证明了）等同于说存在一个 X 类型的项（即 X有人居住）。当X恰好是一个逻辑公式时（即当X : Prop时），我们期望找到它作为目标并用策略来证明它。当 X 碰巧是其他任何东西时（例如，bool），我们希望找到它作为一个术语并在定义中使用它。但是，没有什么可以阻止您在定义中使用逻辑公式（通常导致依赖类型），通过显式提供证明而不是使用策略（例如 eq_refl : 0 = 0）来证明逻辑公式，或者证明 [=16] =] 居住在使用战术。
这种区别仍然有用，因为我们通常不关心 哪个 证明被用来证明给定的定理，但我们经常关心哪个类型的术语 bool 我们掌握了（虽然不是在你的例子中）。
我在 Coq 中发现了一个奇怪的怪癖。当你有一个带有不必要参数的定理时，就会发生这种情况，我们对这个定理使用 rewrite。例如，考虑以下代码片段。
Theorem foo : forall (k : nat) (x : bool), k=0+k.
Proof. reflexivity. Qed.
Theorem bar : forall (k : nat), 0+k=k.
Proof.
intros k. rewrite foo. reflexivity.
(* At this point, the goal is just "bool"! *)
Abort.
在这个例子中，foo 有一个多余的参数 x。然后，当我在 bar 的证明中使用 rewrite foo 时，它会生成一个目标，它只是读取“bool”。
我的第一个问题是：为什么会产生这样的目标？
其次，我发现可以使用 assumption 策略来完成此目标。但是，这并没有真正说明目标是如何解决的。还有什么战术可以用来完成这样的目标？
目标 bool 是在您应用 rewrite foo. 策略时创建的。
此时，您要求 Coq 找到表达式 ek : nat 和 ex : bool，以便 foo ek ex 的左侧出现在目标中。使用合一，Coq 推断出 ek := k 是一个合理的选择，但是它没有得到 ex 的任何信息，因为变量 x 没有出现在 foo 的陪域中。因此，它创建了一个新目标，以便您作为用户可以将缺少的参数填充到 foo.
现在，由于该参数实际上未被使用，您可以通过多种方式实现该目标：您可以提供具体的布尔值 exact true. 或 exact false，将其留给自动化 constructor. 或使用您在上下文中拥有的任何布尔值（实际上我对假设的行为感到有点惊讶是您的上下文已关闭，如您的示例所示）。
您还可以在 Coq 创建目标之前提供参数，例如使用 rewrite (foo k true).。
kyo 很好地回答了您的问题，但我记得对此感到困惑，所以这里有一些额外的背景信息：
在 Coq 中，说 X 成立（比如，这是一个目标，现在它被证明了）等同于说存在一个 X 类型的项（即 X有人居住）。当X恰好是一个逻辑公式时（即当X : Prop时），我们期望找到它作为目标并用策略来证明它。当 X 碰巧是其他任何东西时（例如，bool），我们希望找到它作为一个术语并在定义中使用它。但是，没有什么可以阻止您在定义中使用逻辑公式（通常导致依赖类型），通过显式提供证明而不是使用策略（例如 eq_refl : 0 = 0）来证明逻辑公式，或者证明 [=16] =] 居住在使用战术。
这种区别仍然有用，因为我们通常不关心 哪个 证明被用来证明给定的定理，但我们经常关心哪个类型的术语 bool 我们掌握了（虽然不是在你的例子中）。