在寻找函数的复杂性时如何考虑随机性？
How do you take randomness into account when finding the complexity of a function?
我一直试图理解复杂性，但所有在线 material 让我感到困惑。特别是他们创建实际数学函数的部分。我有一个 for 循环和一个 while 循环。我的困惑来自 while 循环。我知道for循环的复杂度是O(n)，但是while循环是基于随机性的。如果选择了一个随机数，并且如果该数字不在列表中，则将其添加并中断 while 循环。但是我的困惑出现在这里，while 循环可能 运行 在最坏的情况下（在我看来） m 次，直到它完成。所以我在想复杂度会是 O(n*m)?
我真的迷路了，需要一些帮助。
大 'O' 符号仅用于最坏的情况。
找出给定循环的最坏情况。
在 'n' 中创建一个函数，并取 'n' 的最高幂并忽略常量（如果有），您将获得时间复杂度。
技术上 worst-case 复杂度为 O(inf)：如果我们认为真正的随机生成器 (it isn't, of course) random.randint 可以生成具有相同元素的任意长序列。但是，我们可以估计“average-case”的复杂度。它不是真正的 average-case 复杂度（最佳、最差和平均情况必须由输入定义，而不是随机的），但它可以显示程序将执行多少次迭代，如果我们 运行 它固定n 多次，取平均值。
请注意，列表按此处设置的方式工作（您永远不会添加重复的数字），所以我坚持使用 not in set 比较，而不是 O(1)（而 not in list 是O(i)) 以消除复杂性来源并稍微简化事情：现在可以使用相同的大 O 限制来估计迭代次数和复杂性。 Single trial 这里是从 [1; n] 上的均匀整数分布中选择。 成功选择的号码不在列表中。
那么在获得不在集合中的项目之前，试验次数的期望值是多少？在代码中的每个步骤之前设置大小是 i。我们可以选择 n-i 个号码中的任何一个。因此成功的概率是 p_i = (n-i)/n（因为分布是均匀的）。每个外部迭代都是几何分布的一个例子：第一次成功之前的试验次数。因此估计 while 次迭代的次数是 n_i = 1 / p_i = n / (n-i)。为了获得最终的复杂性，我们应该对每个 for 迭代的计数求和：sum(n_i for i in range(n))。这显然等于 n * Harmonic(n)，其中 Harmonic(n) 是 n-th harmonic number（第一个 n 自然数倒数的总和）。 Harmonic(n) ~ O(log n)，因此此代码的“average-case”复杂度为 O(n log n)。
对于 list 它将是 sum(i*n / (n-i) for i in range(n)) ~ O(n^2 log(n))（这个等式的证明会稍微长一点）。
我一直试图理解复杂性，但所有在线 material 让我感到困惑。特别是他们创建实际数学函数的部分。我有一个 for 循环和一个 while 循环。我的困惑来自 while 循环。我知道for循环的复杂度是O(n)，但是while循环是基于随机性的。如果选择了一个随机数，并且如果该数字不在列表中，则将其添加并中断 while 循环。但是我的困惑出现在这里，while 循环可能 运行 在最坏的情况下（在我看来） m 次，直到它完成。所以我在想复杂度会是 O(n*m)?
我真的迷路了，需要一些帮助。
大 'O' 符号仅用于最坏的情况。
找出给定循环的最坏情况。
在 'n' 中创建一个函数，并取 'n' 的最高幂并忽略常量（如果有），您将获得时间复杂度。
技术上 worst-case 复杂度为 O(inf)：如果我们认为真正的随机生成器 (it isn't, of course) random.randint 可以生成具有相同元素的任意长序列。但是，我们可以估计“average-case”的复杂度。它不是真正的 average-case 复杂度（最佳、最差和平均情况必须由输入定义，而不是随机的），但它可以显示程序将执行多少次迭代，如果我们 运行 它固定n 多次，取平均值。
请注意，列表按此处设置的方式工作（您永远不会添加重复的数字），所以我坚持使用 not in set 比较，而不是 O(1)（而 not in list 是O(i)) 以消除复杂性来源并稍微简化事情：现在可以使用相同的大 O 限制来估计迭代次数和复杂性。 Single trial 这里是从 [1; n] 上的均匀整数分布中选择。 成功选择的号码不在列表中。
那么在获得不在集合中的项目之前，试验次数的期望值是多少？在代码中的每个步骤之前设置大小是 i。我们可以选择 n-i 个号码中的任何一个。因此成功的概率是 p_i = (n-i)/n（因为分布是均匀的）。每个外部迭代都是几何分布的一个例子：第一次成功之前的试验次数。因此估计 while 次迭代的次数是 n_i = 1 / p_i = n / (n-i)。为了获得最终的复杂性，我们应该对每个 for 迭代的计数求和：sum(n_i for i in range(n))。这显然等于 n * Harmonic(n)，其中 Harmonic(n) 是 n-th harmonic number（第一个 n 自然数倒数的总和）。 Harmonic(n) ~ O(log n)，因此此代码的“average-case”复杂度为 O(n log n)。
对于 list 它将是 sum(i*n / (n-i) for i in range(n)) ~ O(n^2 log(n))（这个等式的证明会稍微长一点）。