我可以说 Monad 使将某些类型视为同构成为可能吗？

Question

Monad 可以将 Just [1,2] 与原始 length 函数采用的类型不同，传递给 >>= return . length.

Just [1,2] >>= return . length

我可以说 Monad 可以使用 (>>=, return) 将 Maybe [a] 视为与 [a] 在长度上同构吗？（当然他们并不是真的同构。）

这种情况可以选择“同构”一词吗？

Answer 1

你的例子最终说明的是 Maybe 是一个仿函数：如果你有一些 f :: a -> b，你可以用 fmap 把它变成 fmap f :: Maybe a -> Maybe b in a way that preserves identities and composition。 Monad 是仿函数，\f m -> m >>= return . f 与 fmap f m 相同。在你的例子中，我们有 length 函数被 Maybe 仿函数转换。

can I choose term "isomorphic" this situation?

不是真的。 fmap 对于 Maybe 不是同构。同构需要有一个 two-sided 逆来取消它，在这种情况下是这样的：

unFmapMaybe :: (Maybe a -> Maybe b) -> (a -> b)

-- For it to be a two-sided inverse to `fmap`, we should have:
unFmapMaybe . fmap = id
fmap . unFmapMaybe = id

但是，没有 (Maybe a -> Maybe b) -> (a -> b) 函数，因为如果输入 Maybe a -> Maybe b 函数给出 Nothing，则无法获得 b 结果。虽然有一些特定的函子 fmap 是同构的（Identity 是一个例子），但通常情况并非如此。

Answer 2

[a] 同构于 quotient type of Maybe [a] with Nothing and Just [] considered equivalent. Alternatively it is isomorphic to Maybe (<a href="https://hackage.haskell.org/package/base-4.16.0.0/docs/Data-List-NonEmpty.html#t:NonEmpty" rel="noreferrer">NonEmpty</a> a)，它简单地消除了 Just [] 的情况。
换句话说，[a] 可以分解为 Maybe 和 NonEmpty 函子的组合。

这样做的结果是您可以将 NonEmpty a 上的任何函数提升为 [a] 上的函数：

liftEmptyable :: (NonEmpty a -> r) -> [a] -> Maybe r
liftEmptyable _ [] = Nothing
liftEmptyable f (x:xs) = Just $ f (x:|xs)

虽然不确定这实际上与您的问题有多大关系。正如 duplode 回答的那样，除了简单的仿函数映射之外，您实际上什么都不做。我们最多可以详细说明 monad 法则确保 fmap 确实表现得好像 length 直接作用于包含的列表：

Just [1,2] >>= return . length
  ≡ return [1,2] >>= return . length  -- def. of `Monad Maybe`
  ≡ return (length [1,2])             -- left-identity monad law

我可以说 Monad 使将某些类型视为同构成为可能吗？

Can I say that Monad makes it possible to see some types as isomorphic?

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