当一个相对较大的浮点值与两个相对较小的浮点值相乘时，消除错误的最佳算术顺序是什么
When multiple a relative big floating point value with two relative small floating point value, what's the best order of arithmetic to eliminate error
问题描述本身很简单，假设我有两个变量，big和scale，我只想计算：
float res = big * scale * scale;
如您所见，存在两个算术顺序：
// #1
float res = (big * scale) * scale;
// #2
float res = big * (scale * scale);
由于IEEE754单精度标准，以上两行结果不同是正常的。
现在我有一些先验知识 big 可能从 0 到 ~1000，scale 可能从 0 到 2^-10. big 并不像 "eat the small" 那样“大”。并且 scale 并不是那么“小”，以至于在乘以自身时会导致下溢。那留下我的问题是，与“真实”值相比，我应该采用哪种算术顺序来获得“更小的错误”？
从精度的角度来看 - 差别不大。
为避免下溢（乘积变为0.0），使用(big * scale) * scale;因为scale * scale可能变为0。
我现在看到“...而且比例不是那么“小”，不会在乘法时导致下溢。”- 好吧。
顺序可能略有不同
由于关注的是精度而不是范围：
考虑 big 和 scale 中 non-zero 个有效位的数量。每个 as float 最多可以有 24 个有效二进制数字。
想法是执行 2 次乘法并避免 2 次舍入。如果可能，先做乘法。如果 big 有较少的 non-zero 位有效二进制数字，则首先执行 big * scale，否则 scale * scale.
由于 OP 问题暗示 scale 可能是 power-of-2，那么由于它只有 1 个有效二进制数字，并且如果这适用于 OP 的代码，则顺序无关紧要。
考虑到 OP 的“规模不是那么”小”，因此在乘以自身时会导致下溢，因此指数无关紧要”
因为这些是 float，请检查 FLT_EVAL_METHOD 因为这个问题可能没有实际意义，因为中间计算可能会发生在更广泛的数学中。
问题描述本身很简单，假设我有两个变量，big和scale，我只想计算：
float res = big * scale * scale;
如您所见，存在两个算术顺序：
// #1
float res = (big * scale) * scale;
// #2
float res = big * (scale * scale);
由于IEEE754单精度标准，以上两行结果不同是正常的。
现在我有一些先验知识 big 可能从 0 到 ~1000，scale 可能从 0 到 2^-10. big 并不像 "eat the small" 那样“大”。并且 scale 并不是那么“小”，以至于在乘以自身时会导致下溢。那留下我的问题是，与“真实”值相比，我应该采用哪种算术顺序来获得“更小的错误”？
从精度的角度来看 - 差别不大。
为避免下溢（乘积变为0.0），使用(big * scale) * scale;因为scale * scale可能变为0。
我现在看到“...而且比例不是那么“小”，不会在乘法时导致下溢。”- 好吧。
顺序可能略有不同
由于关注的是精度而不是范围：
考虑 big 和 scale 中 non-zero 个有效位的数量。每个 as float 最多可以有 24 个有效二进制数字。
想法是执行 2 次乘法并避免 2 次舍入。如果可能，先做乘法。如果 big 有较少的 non-zero 位有效二进制数字，则首先执行 big * scale，否则 scale * scale.
由于 OP 问题暗示 scale 可能是 power-of-2，那么由于它只有 1 个有效二进制数字，并且如果这适用于 OP 的代码，则顺序无关紧要。
考虑到 OP 的“规模不是那么”小”，因此在乘以自身时会导致下溢，因此指数无关紧要”
因为这些是 float，请检查 FLT_EVAL_METHOD 因为这个问题可能没有实际意义，因为中间计算可能会发生在更广泛的数学中。