python 的 cos x 展开的泰勒级数

Question

我想计算 cosx 系列的总和（同时保持 x 为弧度）。这是我创建的代码：

import math
def cosine(x,n):
    sum = 0
    for i in range(0, n+1):
        sum += ((-1) ** i) * (x**(2*i)/math.factorial(2*i))
    return sum

我使用 math.cos() 检查了它。当我尝试小数字时它工作得很好：

print("Result: ", cosine(25, 1000))
print(math.cos(25))

输出：

Result: 0.991203540954667 0.9912028118634736

数量还是差不多。但是当我尝试更大的数字时，即 40，它只是 returns 一个完全不同的值。

Result: 1.2101433786727471 -0.6669380616522619

有人知道为什么会这样吗？

Answer 1

离展开点越远，泰勒展开的误差项就越大（在本例中，x_0 = 0）。为了减少错误，通过仅在区间 [0, 2 * pi]:

内评估来利用周期性和对称性

def cosine(x, n):
    x = x % (2 * pi)
    total = 0
    for i in range(0, n + 1):
        total += ((-1) ** i) * (x**(2*i) / math.factorial(2*i))
    return total

这可以进一步改进为[0, pi/2]:

def cosine(x, n):
    x = x % (2 * pi)
    if x > pi:
        x = abs(x - 2 * pi)
    if x > pi / 2:
        return -cosine(pi - x, n)
    total = 0
    for i in range(0, n + 1):
        total += ((-1) ** i) * (x**(2*i) / math.factorial(2*i))
    return total

Answer 2

与您得到的答案相反，无论参数有多大，这个泰勒级数都会收敛。项的分母中的阶乘最终使项变为 0。

但是在阶乘部分占主导地位之前，项的绝对值会越来越大。本机浮点数没有足够的精度位来保留足够的信息以供 low-order 位生存。

这是一种不会丢失任何精度的方法。它不实用，因为它很慢。相信我，我告诉你通常需要多年的经验才能学习如何编写实用、快速、high-quality 的数学库。

def mycos(x, nbits=100):
    from fractions import Fraction
    x2 = - Fraction(x) ** 2
    i = 0
    ntries = 0
    total = term = Fraction(1)
    while True:
        ntries += 1
        term = term * x2 / ((i+1) * (i+2))
        i += 2
        total += term
        if (total // term).bit_length() > nbits:
            break
    print("converged to >=", nbits, "bits in", ntries, "steps")
    return total

然后是你的例子：

>>> mycos(25)
converged to >= 100 bits in 60 steps
Fraction(177990265631575526901628601372315751766446600474817729598222950654891626294219622069090604398951917221057277891721367319419730580721270980180746700236766890453804854224688235663001, 179569976498504495450560473003158183053487302118823494306831203428122565348395374375382001784940465248260677204774780370309486592538808596156541689164857386103160689754560975077376)
>>> float(_)
0.9912028118634736
>>> mycos(40)
converged to >= 100 bits in 82 steps
Fraction(-41233919211296161511135381283308676089648279169136751860454289528820133116589076773613997242520904406094665861260732939711116309156993591792484104028113938044669594105655847220120785239949370429999292710446188633097549, 61825710035417531603549955214086485841025011572115538227516711699374454340823156388422475359453342009385198763106309156353690402915353642606997057282914587362557451641312842461463803518046090463931513882368034080863251)
>>> float(_)
-0.6669380616522619

注意事项：

full-precision 结果需要很多位。
四舍五入为浮点数，它们与您从 math.cos().
得到的完全一致
不需要接近 1000 步就可以收敛。

python 的 cos x 展开的泰勒级数

Taylor series of cos x expansion in python

python

taylor-series