在 Coq 中提出证明

Question

我正在尝试用 Coq 证明一个定理。我当前的上下文是：

1 subgoal
s, x : Entity
Pssx : Ps s x
Fxs : F x s
IPssx : F x s /\ Ps s x
t : Entity
Ctss : C t s s
Pstx : Ps t x
Fxt : F x t
______________________________________(1/1)
C s s s

F、Ps、C是理论关系。我还有公理 4:

Axiom A4 : forall x s t,
  Ps s x /\ F x s /\ Ps t x /\ F x t -> s = t.

我想做的是在证明中使用 A4，因为它会帮助我说 s 和 t 相等。所以我测试了：pose proof (A4 x s t). 添加了一个新的假设：H : Ps s x /\ F x s /\ Ps t x /\ F x t -> s = t。我知道我可以推翻假设 H，证明前提并使用结论。但是我也知道我可以直接在pose proof命令中给出前提。我想做类似 pose proof (A4 x s t Premisses). 但我不知道用什么代替 Premisses。

我尝试了几种解决方案：

用/组成假设，比如pose proof (A4 x s t (Pssx /\ Fxs /\ Pstx /\ Fxt)).但是我得到了错误The term "Pssx" has type "Ps s x" while it is expected to have type "Ps s x /\ F x s /\ Ps t x /\ F x t".
使用 assert 命令和 pose proof (A4 x s t H1).：
- assert (H1 := (Ps s x) /\ (F x s) /\ (Ps t x) /\ (F x t)). 但我得到了 The term "H1" has type "Prop" while it is expected to have type "Ps s x /\ F x s /\ Ps t x /\ F x t".
- assert (H1 := (Pssx) /\ (Fxs) /\ (Pstx) /\ (Fxt)). 但我得到了 The term "Pssx" has type "Ps s x" while it is expected to have type "Prop".

所以我的问题如下：我应该用什么代替 Premisses 让我的代码工作？是否有命令根据其他假设创建新假设？我知道如何将一个假设分解为两个较小的假设，但我不知道如何组合假设来创建更大的假设。

Answer 1

Coq 中的标准是 curry 你的 A4 这样它就不会接收一个大连词作为前提，而是接收几个不同的前提：

Axiom A4' : forall x s t,
  Ps s x -> F x s -> Ps t x -> F x t -> s = t.

那么你可以这样做：

pose proof (A4' x s t Pssx Fxs Pstx Fxt).

如果你确实需要 A4 连词，你可以使用 conj（你可以用 Print "_ /\ _" 找到）：

pose proof (A4 x s t (conj Pssx (conj Fxs (conj Pstx Fxt)))).

在 Coq 中提出证明

Pose proof in Coq

coq