如何在 Julia 中使用 vegas 计算具有无限边界的高维多重积分

Question

我正在尝试使用 Julia（>1400 维）计算高维积分。因此，我尝试使用函数 vegas 来执行此操作，因为它大概可以计算高维积分。然而，vegas 假设积分域是 [0,1]^n，但我的积分超过了 R^n。 vegas 的 documentation 建议更改变量，但我无法让它在多个维度上工作。

因此，如果我在 Julia 中输入以下二维积分：

using LinearAlgebra, Cuba
multinormal(x,μ,Σ) = det(2*π*Σ)^(-1/2)*exp(-1/2*(x-μ)'*inv(Σ)*(x-μ))
vegas((x,f)->f=multinormal(x,[0;0],[1 0;0 1]),2)

我得到结果

Component:
 1: 0.0 ± 7.025180405943273e-18 (prob.: -999.0)
Integrand evaluations: 1000
Number of subregions:  0
Note: The desired accuracy was reached

假设积分超过 [0,1]^2。

尝试在 [0,infinity)^2 上计算相同的积分，我尝试将建议的变量更改 here 为

vegas((x,f)->f=multinormal(x./(1 .- x),[0;0],[1 0;0 1])./(1 .-x).^2,2)

这给了我结果

Component:
 1: 0.0 ± 7.025180405943273e-18 (prob.: -999.0)
Integrand evaluations: 1000
Number of subregions:  0
Note: The desired accuracy was reached

但结果应该是 0.5 而不是 0。

如何使用 vegas 计算具有无限积分极限的多元正态分布的积分？

Answer 1

如果您使用 Quadrature.jl，它将自动为您执行必要的变量更改。然后你只需使用 [-Inf,Inf] 边界。查看测试中的示例：

https://github.com/SciML/Quadrature.jl/blob/master/test/inf_integral_tests.jl

Answer 2

我最终只是按照这里的建议对积分进行了近似：https://stats.stackexchange.com/questions/228687/approximation-expectation-integral

例如，为了计算二维多元正态分布变量 x 的期望值 E，我做了：

using Distributions, LinearAlgebra
sampleSize = 1000;
dist = MvNormal([0;0],I);
x = rand(dist,sampleSize);
E = 1/sampleSize*sum([x[:,r] for r in 1:sampleSize])

这种方法的便利之处在于它对高维度（在我的例子中 x 的维度 >1400）非常有效。

如何在 Julia 中使用 vegas 计算具有无限边界的高维多重积分

How to compute a high dimensional multiple integral with infinite bounds using vegas in Julia

julia