在 Coq 中使用 or_comm

Question

我想证明下面的定理：

Theorem T14 : forall s t u,
  S u s t <-> S u t s.

其中S定义如下：

Definition S u s t := forall v,
  ((ObS u v) <-> (ObS v s \/ ObS v t)).

我使用的第一个策略是：

Proof.
  intros s t u.
  unfold S.

我现在的目标是：

1 subgoal
s, t, u : Entity
______________________________________(1/1)
(forall v : Entity, ObS u v <-> ObS v s \/ ObS v t) <->
(forall v : Entity, ObS u v <-> ObS v t \/ ObS v s)

感觉如果用OR算子的交换律，再用tauto的策略就可以证明完了。但是，我不知道如何只重写等价的正确部分的内部位。可能吗？

Answer 1

这可以使用通用重写来完成。

Require Setoid.
使用setoid_rewrite，因为您正在使用活页夹 (forall v) 重写。（没有活页夹，rewrite 就足够了）。

在这种情况下它有效 out-of-the-box，但是当您的项目变得更加复杂，使用您自己的 combinators/logical 连接词时，将需要做一些工作来确保“重写”是合理的。 The reference manual describes the set up required by generalized rewriting.

(* 1 *)
Require Import Setoid.

Parameter T : Type.
Parameter ObS : T -> T -> Prop.

Definition S u s t := forall v,
  ((ObS u v) <-> (ObS v s \/ ObS v t)).

Theorem T14 : forall s t u,
  S u s t <-> S u t s.
Proof.
  intros s t u.
  unfold S.
  (* 2 *)
  setoid_rewrite (or_comm (ObS _ s)).
  reflexivity.
Qed.

在 Coq 中使用 or_comm

Using or_comm in Coq

coq