数论算法。段上的大多数除数

Question

我正在寻找一种有效的算法来解决以下问题。令 d(n) 表示 n 的正因子数，其中 n 是正整数。我们得到了一些 1 <= a <= b <= 10^18 ，任务是在段 [a..b] 上找到 d 的最大值，并且（可能这部分我们需要更复杂的算法）找到使值最大化的数字d.

前段时间在free access中发现了如下代码：http://ideone.com/qvxPj

unsigned long long n, res;
int p, primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 67, 71};

unsigned long long mul(unsigned long long a, unsigned long long b){
    unsigned long long res = 0;

    while (b){
        if (b & 1LL) res = (res + a);
        if (res >= n) return 0;
        a = (a << 1LL);
        b >>= 1LL;
    }

    return res;
}

void backtrack(int i, int lim, unsigned long long val, unsigned long long r){
    if (r > res) res = r;
    if (i == p) return;

    int d;
    unsigned long long x = val;

    for (d = 1; d <= lim; d++){
        x = mul(x, primes[i]);
        if (x == 0) return;
        backtrack(i + 1, d, x, r * (d + 1));
    }
}

int main(){    
    p = sizeof(primes) / sizeof(int);

    while (scanf("%llu", &n) != EOF){
        res = 0;
        backtrack(0, 100, 1, 1);
        printf("Maximum number of divisors of any number less than %llu = %llu\n", n, res);
    }
    return 0;
}

如果有人向我解释它是如何工作的，我将非常高兴，因为（对我而言）这个程序运行得非常快。

在此先感谢您的帮助。

Answer 1

它像这样遍历所有数字：

num = P1^D1 * P2^D2 * P3^D3 * ... * Ps^Ds
constraints:
  Pi <= 71
  1 <= Di <= 100
  sequence (Pi) is a sorted list of first s primes
  sequence (Di) is nonincreasing
  num <= n

让我们检查第一个约束条件。假设最小最优数有质因数q > 71。如果这个数中没有使用任何素数 p <= 71 ，那么我们可以用 p[=55= 替换 q ] 同样的力量。显然，除数的数量将保持不变，但数量会减少 -> 矛盾。那么就没有小于71的未使用素数了。但是71以内的所有素数的乘积已经很大了，我们考虑的数肯定大于64位n。这不可能。

现在我们来解释第二个和第三个约束条件。假设我们的最小最优数在其因式分解中有一个质数 q，但没有一些质数 p，其中 p 。然后我们可以将 q 替换为 p 以相同的顺序，该数字将具有相同数量的除数，但会变得更少 -> 矛盾。这意味着在寻求最佳（最小）数的因式分解中的所有素数必须恰好是前 s 个素数。使用的素数集合中不能有空洞。顺便说一句，Di <= 100 很明显，因为即使 2^100 也不适合 64 位整数。

现在我们要解释第四个约束。假设 D[i] < D[i+1] 对于某些 i。那么我们可以将 P[i]^D[i] * P[i+1]^D[i+1] 替换为 P[i]^D[ i+1] * P[i+1]^D[i]，数字会变小。例如，将 5^2 * 7^3 替换为 5^3 * 7^2：除数相同，但结果较小。显然，如果我们搜索最小最优数，我们也可以安全地假设这个条件。

现在让我们考虑一下代码。 mul 是一个计算 a 和 b 的乘积的小函数。它是通过一个有趣的二进制程序计算出来的。这个过程的主要原因是：如果乘积大于n，那么函数returns0。这个过程只是为了防止可能发生的溢出。

终于到了backtrack。这是一个通常的递归搜索。 val 是当前数，r 是它的约数，i 显示我们现在要添加的素数的索引，lim 限制每个素数的幂为100. 在一开始，您会看到当前最佳答案的更新（存储在 res 中）和硬停止条件（使用所有素数）。

然后有一个循环检查当前素数的每个幂。它从幂 1 开始，因为零幂是被禁止的。它在 x 中维护当前数字，并在每次迭代中将其乘以 Pi 以增加功率。如果 x 变得大于 n，它会立即停止。最后，它调用自己以寻找下一个素数。

Answer 2

作为对@stgatilov 回答的补充，我将证明选择将素数限制为小于或等于 71 的素数是合理的。

我使用稍微修改过的代码版本来记录具有最大除数的最大数字。对于 1000000000000000000 或 999999999999999999，我得到：

897612484786617600 = 2⁸ * 3⁴ * 5² * 7² * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37

总除数为 103680。

这意味着对于所有 18 位十进制数字，不涉及大于 37 的质数是找到具有最大除数的整数。

数论算法。段上的大多数除数

Number theory algorithms. Most divisors on the segment

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