为什么我不能将 f_equal 应用于假设？

Question

在我的假设列表中，我有：

X : Type
l' : list X
n' : nat
H : S (length l') = S n'

我的目标是length l' = n'。

所以我尝试了 f_equal in H。但是我收到以下错误：

Syntax error: [tactic:ltac_use_default] expected after [tactic:tactic] (in [vernac:tactic_command]).

我认为我应该能够将 f_equal 应用于 H 以删除两侧的 S 是不是错了？

Answer 1

f_equal 告诉你如果 x = y，那么 f x = f y。也就是说，当你有x = y而需要f x = f y时，你可以使用f_equal.

你的情况正好相反。你有f x = f y而你需要x = y，所以你不能使用f_equal.

仔细想想你的结论，只有在S是注射的情况下才成立。你需要一个不同的策略。

Answer 2

f_equal 是关于平等的同余。它可以用来从x = y证明f x = f y。但是，它不能用于从 f x = f y 推导出 x = y 因为这通常不是真的，只有当 f 是内射的时候。

这里是一个特例，因为S是一个归纳类型的构造函数，而且构造函数确实是单射的。例如，您可以使用 inversion H 之类的策略来获得所需的平等。

另一种涉及 f_equal 的解决方案是应用一个函数来删除 S like

Definition removeS n :=
  match n with
  | S m => m
  | 0 => 0
  end.

然后使用

apply (f_equal removeS) in H.

Why can I not apply f_equal to a hypothesis?