一个序列的总和

Question

我正在尝试创建一个函数来计算这个公式

#include <iostream>
#include <vector>
double Sequence(std::vector < double > & a) {
  double result = 0;
  for (int i = a.size() - 1; i > 0; i--) {
    if (a[i] == 0) throw std::domain_error("Dividing with 0");
    if (i > 1)
      result += 1 / (a[i - 1] + 1 / a[i]);
    else result += a[i - i];
    std::cout << a[i] << " " << result << " " << "\n";
  }
  return result;
}
int main() {
  std::vector<double>a{1,2,3,4,5};
  try {
    std::cout << Sequence(a);
  } catch (std::domain_error e) {
    std::cout << e.what();
  }

  return 0;
}

代码给出了 {1,2,3} 序列的正确结果。但是，如果我在该序列中添加一些数字，结果就会出错。你能帮我解决这个问题吗？

Answer 1

if (i > 1)
  result += 1 / (a[i - 1] + 1 / a[i]);
else result += a[i - i];

这是错误的；如果你有三个或更少的任期，它恰好有效。

您真正想要的重复是

if (i == a.size() - 1) {
    result = a[i];
} else {
    result = a[i] + 1 / result;
}

你可以看到这是一个正确的循环，因为整理更多东西（从循环内部删除条件，修复循环终止条件中的 off-by-one，并更正异常条件）：

double Sequence(std::vector<double> &a) {
  double result = a[a.size() - 1];
  for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {
    if (result == 0)
      throw std::domain_error("Dividing with 0");
    result = a[i] + 1 / result;
  }
  return result;
}

Answer 2

这称为简单连分数，其中所有分子均为 1。它基本上表示为 [a1;a2,a3,...,an]（实际上是从 a0 开始，但无论如何）。您可以从上到下计算结果，同时在每一步获得更好的近似值（或他们所说的 convergent）。

这个有限有理级数或无限无理级数的结果表示为p/q。为了计算你假设的结果

p0   1     p1   a1       p2   a2*p1+p0      p3   a3*p2+p1            pn   a_n*p_n-1+p_n-2
__ = _ and __ = __ then  __ = ________ then __ = ________ .. then .. __ = _______________
q0   0     q1   1        q2   a2*q1+q0      q3   a3*q2+q1            qn   a_n*q_n-1+q_n-2

并且每个下一个 p_x/q_x 都会产生更好的结果近似值。

比如说，如果你在连续分数效率中得到一个像 1.425 这样的小数 as

[1; 2, 2, 1, 5]

a.k.a.

          1
1 + _____________
            1
    2 + _________
              1
        2 + _____
                1
            1 + _
                5

那么如上所述计算出的中间收敛点为；

1    1    3    7    10    57
_ -> _ -> _ -> _ -> __ -> __ = 1.425
0    1    2    5    7     40

请注意，除了 57/40 是 1.425.

的最小有理表达式之外，每个收敛的超调随后都会从最终结果上下移动

连分数是一个非常深奥的话题，一旦以连分数形式在它们之间建立算术，实际上就消除了浮点错误。

可以玩here.

一个序列的总和

The sum of a sequence

c++

algorithm

formula

continued-fractions