组合学 - 糖果

Question

我在比赛的某个地方发现了这个问题，但还没能想出解决办法。

The boy has apples and keeps in boxes. In one box no more than N/2. How many methods he can put candies to boxes.

所以我想做的是使用 DP 实现解决方案。这是我的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unistd.h>
#include <vector>
#define size 1002
using namespace std;

long long a[size][size];
int n, k;
int main()
{
    cin >> n >> k;
    int kk = n/2;

    for(int i = 0; i <= k; ++i)
        a[0][i] = 1;
    a[0][0] = 0;

    for(int i = 0; i <= kk; ++i)
        a[i][1] = 1;

    for(int i = 1; i <= n; ++i) {

        for(int j = 2; j <= k; ++j) {
            int index = 0;
            long long res = 0;
            while(1) {
                res += a[i-index][j - 1];
                index += 1;

                if(index == kk + 1 || i-index < 0)
                    break;
            }
            a[i][j] = res;

        }
    }
    cout << a[n][k] << endl;

}

但问题是我们输入的数字很大，例如：

2 ≤ N ≤ 1000 is a quantity of the candies, N - even; 2 ≤ S ≤ 1000 - is a quantity of small boxes.

因此，对于 N = 1000 和 S = 1000 这样的输入，我必须花费 5*10^8 次操作。而且数字很大，所以我必须使用BigInteger算法？

也许有算法可以在线性时间内解决问题？谢谢，对不起我的英语！

Answer 1

您可以通过以下观察轻松地将时间复杂度从 O(kn^2) 降低到 O(nk)：

for(int i = 1; i <= n; ++i) {

    for(int j = 2; j <= k; ++j) {
        int index = 0;
        long long res = 0;
        while(1) {
            res += a[i-index][j - 1];
            index += 1;

            if(index == kk + 1 || i-index < 0)
                break;
        }
        a[i][j] = res;

    }
}

对于每个 a[i][j]，我们可以很容易地看到

a[i][j] = sum a[k][j - 1] k 从 (i - n/2) 到 i

所以，如果我们创建一个数组sum来存储上一步所有索引的总和，我们可以从上面的嵌套循环中减少一个for循环

a[i][j] = sum[i] - sum[i - (n/2) - 1];

伪代码：

long long sum[n + 1];
for(int j = 2; j <= k; ++j) {
    long long nxt[n + 1];
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        int index = 0;
        long long res = sum[i] - sum[i - (n/2) - 1];

        a[i][j] = res;
        nxt[i] = nxt[i - 1] + a[i][j];//Prepare the sum array for next step

    }
    sum = nxt;
}

注意：以上代码没有处理数组sum的初始化步骤，也没有处理i < n/2的情况。这些情况应该很容易处理。

更新：

我的以下 Java 解决方案通过使用类似的想法被接受：

public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException {
    // PrintWriter out = new PrintWriter(new FileOutputStream(new File(
    // "output.txt")));
    PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
    Scanner in = new Scanner();
    int n = in.nextInt();
    int s = in.nextInt();
    BigInteger[][] dp = new BigInteger[n + 1][2];
    BigInteger[][] count = new BigInteger[2][n + 1];
    int cur = 1;
    for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
        dp[i][0] = BigInteger.ONE;
        count[0][i] = (i > 0 ? count[0][i - 1]  : BigInteger.ZERO)
                .add(dp[i][0]);

    }
    for (int i = n / 2 + 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = BigInteger.ZERO;
        count[0][i] = count[0][i - 1];
    }
    for (int i = 2; i <= s; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {

            dp[j][cur] = dp[j][1 - cur].add((j > 0 ? count[1 - cur][j - 1]
                    : BigInteger.ZERO)
                    .subtract(j > n / 2 ? count[1 - cur][j - (n / 2) - 1]
                            : BigInteger.ZERO));

            count[cur][j] = (j > 0  ? count[cur][j - 1] : BigInteger.ZERO)
                    .add(dp[j][cur]);
        }
        cur = 1 - cur;
    }
    out.println(dp[n][1 - cur]);
    out.close();
}

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