使用 lm() 进行线性回归 - 对结果感到惊讶

Question

我使用 lm 函数对我拥有的数据进行了线性回归。一切正常（没有错误消息），但我对结果感到惊讶：我的印象是 R "misses" 一组点，即截距和斜率不是最合适的。例如，我指的是坐标 x=15-25,y=0-20.

处的一组点

我的问题：

是否有函数可以比较 "expected" 系数和 "lm-calculated" 系数的拟合度？
我是不是在编码的时候犯了一个愚蠢的错误，导致lm做那个？

以下一些答案：关于 x 和 y 的附加信息

x 和 y 都是疾病症状的视觉估计。两者都存在相同的不确定性。

数据和代码在这里：

x1=c(24.0,23.9,23.6,21.6,21.0,20.8,22.4,22.6,
     21.6,21.2,19.0,19.4,21.1,21.5,21.5,20.1,20.1,
     20.1,17.2,18.6,21.5,18.2,23.2,20.4,19.2,22.4,
     18.8,17.9,19.1,17.9,19.6,18.1,17.6,17.4,17.5,
     17.5,25.2,24.4,25.6,24.3,24.6,24.3,29.4,29.4,
     29.1,28.5,27.2,27.9,31.5,31.5,31.5,27.8,31.2,
     27.4,28.8,27.9,27.6,26.9,28.0,28.0,33.0,32.0,
     34.2,34.0,32.6,30.8)

y1=c(100.0,95.5,93.5,100.0,98.5,99.5,34.8,
     45.8,47.5,17.4,42.6,63.0,6.9,12.1,30.5,
     10.5,14.3,41.1, 2.2,20.0,9.8,3.5,0.5,3.5,5.7,
     3.1,19.2,6.4, 1.2, 4.5, 5.7, 3.1,19.2, 6.4,
     1.2,4.5,81.5,70.5,91.5,75.0,59.5,73.3,66.5,
     47.0,60.5,47.5,33.0,62.5,87.0,86.0,77.0,
     86.0,83.0,78.5,83.0,83.5,73.0,69.5,82.5,78.5,
     84.0,93.5,83.5,96.5,96.0,97.5)   



## x11()
plot(x1,y1,xlim=c(0,35),ylim=c(0,100))

# linear regression
reg_lin=lm(y1 ~ x1)
abline(reg_lin,lty="solid", col="royalblue")
text(12.5,25,labels="R result",col="royalblue", cex=0.85)
text(12.5,20,labels=bquote(y== .(5.26)*x - .(76)),col="royalblue", cex=0.85)

# result I would have imagined
abline(a=-150,b=8,lty="dashed", col="red")
text(27.5,25,labels="What I think is better",col="red", cex=0.85)
text(27.5,20,labels=bquote(y== .(8)*x - .(150)),col="red", cex=0.85)

Answer 1

试试这个：

reg_lin_int <- reg_lin$coefficients[1]
reg_lin_slp <- reg_lin$coefficients[2]

sum((y1 - (reg_lin_int + reg_lin_slp*x1)) ^ 2)
# [1] 39486.33
sum((y1 - (-150 + 8 * x1)) ^ 2)
# [1] 55583.18

残差平方和低于 lm 拟合线。这是意料之中的，因为 reg_lin_int 和 reg_lin_slp 保证产生最小的总平方误差。

凭直觉，我们知道平方损失函数下的估计量对异常值很敏感。它是 "missing" 底部的组，因为它离左上角的组更近，而左上角的组距离更远——平方距离赋予这些点更大的权重。

事实上，如果我们使用 Least Absolute Deviations 回归（即指定绝对损失函数而不是平方），结果更接近您的猜测：

library(quantreg)
lad_reg <- rq(y1 ~ x1)

（专业提示：使用 lwd 使图表更更具可读性）

如@nongkrong 和@MikeWilliamson 所述，Total Least Squares 更接近您的想法。这是 TLS 在您的样本上的结果：

v <- prcomp(cbind(x1, y1))$rotation
bbeta <- v[-ncol(v), ncol(v)] / v[1, 1]
inter <- mean(y1) - bbeta * mean(x1)

Answer 2

您已经得到了一个很好的答案，但也许这也有帮助：

如您所知，OLS 最小化 y-direction 中的误差平方和。这意味着您的 x-values 的不确定性可以忽略不计，通常是这种情况。但是您的数据可能并非如此。如果我们假设 x 和 y 的不确定性相等并进行戴明回归，我们得到的拟合结果与您的预期更相似。

library(MethComp)
dem_reg <- Deming(x1, y1)
abline(dem_reg[1:2], col = "green")

您没有提供有关数据的详细信息。因此，这可能有用也可能没用。

使用 lm() 进行线性回归 - 对结果感到惊讶

linear regression using lm() - surprised by the result

r

linear-regression

lm

least-squares

orthogonal