为什么代表 1.0 和 2.0 的位串如此不同？

Question

我最近开始使用 Julia 并发现了 bits 函数，它 returns 其数字参数的位串表示。例如：

julia> bits(1.0)
"0011111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000"

然而，在使用这个函数时，我惊讶地发现 bits returns 1.0 和 2.0 的位串非常不同：

julia> bits(1.0)
"0011111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000"

julia> bits(2.0)
"0100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

我原以为这两个值是相似的...

这些位的含义是什么？我依稀记得一些关于对指数进行编码的位（来自我的数值分析class），但我真的不知道记得很清楚，我没能在网上找到一个好的描述...

Answer 1

要理解为什么 bits(1.0) 和 bits(2.0) 的 ASCIIString 值是 "so different"，您需要了解一些 (!) 关于 IEEE-754 (binary) floating-point numbers. Each such double-precision 数字存储为 64 位字，分为三部分：

符号位（非负数为0，非正数为1），后跟
biased exponent（11位），后面是
有效数（52 位）。

一个normalized number的值（比如1.0和2.0）可以用下面的公式得到：

(-1)^sign_bit x 1.significand x 2^(biased_exponent - bias)

（对于双精度浮点数，偏差值为 2^10 - 1 = 1023）

现在，

1.0 = +1.000... x 2^(1023 - 偏差)

而1023对应的是以2为底的(0)1111111111，所以对应的位串是
```
0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
```
2.0 = +1.000... x 2^(1024 - 偏差)

而1024对应的是2进制的10000000000，所以对应的位串是
```
0 10000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
```

3.0 = +1.100... x 2^(1024 - 偏差)

所以对应的位串是

0 10000000000 1000000000000000000000000000000000000000000000000000

等等

综上所述，2.0的位串可以通过将1.0的位串中的偏指数部分递增得到，即2的幂减1。递增这样一个数字会导致其二进制表示的所有位发生变化，就像递增数字 9999（十进制表示）会导致所有数字发生变化一样。

为什么代表 1.0 和 2.0 的位串如此不同？

Why are the bit strings representing 1.0 and 2.0 so different?

floating-point

julia

ieee-754