如何使用高阶相关性准确校准测量值?

How to accurately calibrate a measurement using a higher order correlation?

我使用一个设备进行了大约 1000 次测量。我们称这些测量为 y。对于这些测量值中的每一个,我都知道实际测量值应该是多少,我们称这些为 z。我如何校准、调整或缩放 y 以获得更好的估计?我正在考虑求解以下任一方程组 (linear/nonlinear) 的 alpha、beta 和 gamma:

有人可以给我一些建议,让我知道我这样做是否正确吗?

首先你需要知道测量设备有两种误差:偶然误差和系统误差。

偶然误差是由于许多扰动因素相互作用复杂,会导致不可重复性(测量两次相同的值导致不同的测量结果)。为减少意外误差,您可以重复测量并取平均值。

系统误差是永久稳定的。它们是由于关系 z = y 是错误的或近似的,并且将针对相同的测量重复相同的结果。真正的关系可以是 y = z + cc != 0(偏移误差)、y = c.zc != 1(增益误差)、y = c1.z + c2(两者)或非线性,如 y = c1.z² + c2.z + c3y = (c1.z + c2) / (c3.z + c4)y = ln(exp(z)+1)... 或任何其他。

在某些情况下,您有理由知道关系的函数形式(例如金属尺子在温度变化时会出错 "gain");在其他情况下你不需要,你可以使用经验模型,例如多项式(通常,关系是平滑的并且保持接近 y = z)。

通常,观察 (z, y) 个点的图会提示您偶然错误的重要性和函数关系的可能形状。

一种简单的方法是尝试对多项式模型(比如二次或三次)进行最小二乘拟合。然后,当您找到系数后,您可以查看工作范围内多项式项(幂)的相对大小。这将告诉您是否所有条款都相关。我建议你舍弃那些不会显着降低拟合误差的项,并保持一个简单的模型。


考虑下图的情况,从网上随机选择。

乍一看,该关系看起来是线性的,没有偏移误差(因为该关系包含点 (0, 0))和一些不规则性,我们可以将其归因于偶然错误。对于这个设备,直接模型y = c.z应该是合适的,添加非线性项是无用的或误导的。