具有共线点的礼品包装算法

Question

所以我根据礼品包装算法的例子编写了以下代码，用于查找一组点的凸包：

std::vector<sf::Vector2f> convexHull(const std::vector<sf::Vector2f>& _shape)
{
    std::vector<sf::Vector2f> returnValue;    
    returnValue.push_back(leftmostPoint(_shape));
    for (std::vector<sf::Vector2f>::const_iterator it = _shape.begin(), end = _shape.end(); it != end; ++it)
    {
        if (elementIncludedInVector(*it, returnValue)) continue;
        bool allPointWereToTheLeft = true;
        for (std::vector<sf::Vector2f>::const_iterator it1 = _shape.begin(); it1 != end; ++it1)
        {
            if (*it1 == *it || elementIncludedInVector(*it1, returnValue)) continue;
            if (pointPositionRelativeToLine(returnValue.back(), *it, *it1) > 0.0f)
            {
                allPointWereToTheLeft = false;
                break;
            }
        }
        if (allPointWereToTheLeft)
        {
            returnValue.push_back(*it);
            it = _shape.begin();
        }
    }
    return returnValue;
}

这是我确定第三个点在直线的哪一侧的函数：

float pointPositionRelativeToLine(const sf::Vector2f& A, const sf::Vector2f& B, const sf::Vector2f& C)
{
    return (B.x - A.x)*(C.y - A.y) - (B.y - A.y)*(C.x - A.x);
}

返回负数表示该点在一侧，正数在另一侧，0表示三点共线。现在，问题是：如何修改上述代码，使其即使在 _shape 中存在共线点时也能正常工作？

Answer 1

如果某些点共线，则必须选择离它们最远的点（到当前点的距离最大）

Answer 2

这比您演示的代码更难正确执行。我只会关注你的谓词的稳定性，而不是你如何处理共线点。谓词是您进行几何计算的地方 - pointPositionRelativeToLine.

您的代码设计得很好，因为您只在谓词中进行几何计算。这是使其坚固的必要条件。 las，您的谓词不应该 return 一个浮点数，而是一个小集合的结果：LEFT、RIGHT 或 COLLINEAR:

enum RelPos { LEFT, RIGHT, COLLINEAR };

RelPos pointPositionRelativeToLine(const sf::Vector2f& A, const sf::Vector2f& B, const sf::Vector2f& C)
{
    auto result = (B.x - A.x)*(C.y - A.y) - (B.y - A.y)*(C.x - A.x);
    if (result < 0.0) return LEFT;
    else if (result > 0.0) return RIGHT;
    return COLLINEAR;
}

然后您可以弄清楚如何保证给定任何三个点，正确答案是 return 对它们的任何排列。这是必须的，否则你的算法不能保证有效。

有两种通用方法：

使用正确的数据类型以保证在谓词中使用时得到准确的结果。
接受您使用的不精确的数据类型，有些输入无法计算结果。具体来说，您可以让谓词提供第四个值，INDETERMINATE，在这种情况下 return。

通过为输入的所有排列调用原始谓词，第二种方法很容易实现：

enum RelPos { LEFT, RIGHT, COLLINEAR, INDETERMINATE };
typedef sf::Vector2f Point_2;

RelPos ppImpl(const Point_2 & A, const Point_2 & B, const Point_2 & C)
{
    auto result = (B.x - A.x)*(C.y - A.y) - (B.y - A.y)*(C.x - A.x);
    if (result < 0.0) return LEFT;
    else if (result > 0.0) return RIGHT;
    return COLLINEAR;
}

bool inverse(RelPos a, RelPos b) {
  return a == LEFT && b == RIGHT || a == RIGHT && b == LEFT;
}

bool equal(RelPos a, RelPos b, RelPos c, RelPos d, RelPos e, RelPos f) {
  return a==b && b==c && c==d && d==e && e==f;
}

RelPos pointPositionRelativeToLine(const Point_2 & A, const Point_2 & B, const Point_2 & C) {
  auto abc = ppImpl(A, B, C);
  auto bac = ppImpl(B, A, C);
  auto acb = ppImpl(A, C, B);
  auto cab = ppImpl(C, A, B);
  auto bca = ppImpl(B, C, A);
  auto cba = ppImpl(C, B, A);
  if (abc == COLLINEAR) return equal(abc, bac, acb, cab, bca, cba) ?
    COLLINEAR : INDETERMINATE;
  if (!inverse(abc, bac) || !inverse(acb, cab) || !inverse(bca, cba))
    return INDETERMINATE;
  if (abc != bca || abc != cab)
    return INDETERMINATE;
  return abc;
}

上面的逻辑可能有误，希望我是对的。但这是这里的一般方法。至少上述对给定数据集的测试必须通过，算法才能在数据集上运行。但我不记得这是不是充分条件。

当然，算法必须在从谓词获得INDETERMINATE结果时终止：

const auto errVal = std::vector<sf::Vector2f>();
...
auto rel = pointPositionRelativeToLine(returnValue.back(), *it, *it1);
if (rel == INDETERMINATE) return errVal;
if (rel == RIGHT) {
  allPointWereToTheLeft = false;
  break;
}

Answer 3

你可以根据两点之间的"exclude"关系（围绕一个公共中心）进行推理，意思是如果A和B的相对位置证明B不能在凸包。

在图中，绿点排除了蓝点，而红点则没有。在两个对齐的点中，离中心最远的点排除另一个。排除轨迹是一个开放的半平面和半直线。

请注意 "excludes" 是可传递的并且定义了总排序。

具有共线点的礼品包装算法

Gift Wrapping Algorithm with Collinear Points

c++

algorithm

geometry

convex