查找幂集的加权子集和的最大值

Question

我有一个输入的稀疏幂集（即一些组合已被预先排除）。幂集中的每个条目都有一定的分数。我想找到涵盖所有点并使总分最大化的组合。

例如，假设输入生成如下：

function powerset(ary) {
  var ps = [[]];
  for (var i = 0; i < ary.length; i++) {
    for (var j = 0, len = ps.length; j < len; j++) {
      ps.push(ps[j].concat(ary[i]));
    }
  }
  return ps;
}

function generateScores() {
  var sets = powerset([0, 1, 2, 3]);
  sets.pop() //remove the last entry to make it "sparse"
  var scores = {};
  for (var i = 1; i < sets.length; i++) { //skip 0-len
    var set = sets[i];
    var val = 0;
    for (var j = 0; j < set.length; j++) {
      val |= (1 << set[j]);
    }
    scores[val] = ~~Math.pow(((Math.random()+1)*4),set.length);
  }
  return scores;
}
var scores = generateScores();

输出将如下所示：

{
  "1": 7,
  "2": 4,
  "3": 36,
  "4": 5,
  "5": 32,
  "6": 50,
  "7": 84,
  "8": 4,
  "9": 30,
  "10": 50,
  "11": 510,
  "12": 47,
  "13": 73,
  "14": 344,
}

由于顺序无关紧要，我可以将组合转换为位掩码并将其用作密钥。所以要读 table：“3”的一个键是 011 以 2 为底，这意味着链接 0-1 会产生 36 分，而 0 单独 + 1 单独产生总和 11 ，因此链接 0-1 大于其各部分的总和 0,1.

在这样做的过程中，我将其简化为加权子集求和问题，目标是找到总和为 15 的每个组合（相当于基数 2 中的 1111），然后取最大限度。这就是我被困的地方。我尝试使用动态规划，但由于随机性，我看不出如何减少。例如，1-2可能比1,2好（在上面的table中，“3”比“1”+“2”得分高）。但是 1-3,2 可能比 1-2,3 或 1-2-3) 更好。

我怎样才能有效地找到最佳组合？（蛮力是不可行的）。对于这个例子，解决方案是“11”+“4”，总共 515。

Answer 1

您想找到总和为 15 且没有任何重叠位的元素组合，使所选元素的分数最大化。

为此，定义一个函数 bestSubset(use, valid)，输入一组需要使用的元素和一个有效包含但尚未考虑的元素子集。它通过考虑有效集合中的元素 s 递归操作，考虑使用 s 或不使用它的情况（如果使用它，则任何重叠位的元素都不能再被使用）使用过）。

这是一个 javascript 实现：

var scores = {1:7, 2:4, 3:36, 4:5, 5:32, 6:50, 7:84, 8:4, 9:30, 10:50, 11:510, 12:47, 13:73, 14:344};
var S = [];
for (var prop in scores) {
  S.push([parseInt(prop), scores[prop]]);
}

var n = 15;  // Target sum
var k = S.length;  // Number of weights

function bestSubset(use, valid) {
  if (valid.length == 0) {
    var weightSum = 0;
    var scoreSum = 0;
    var weights = [];
    for (var ct=0; ct < use.length; ct++) {
      weightSum += S[use[ct]][0];
      weights.push(S[use[ct]][0]);
      scoreSum += S[use[ct]][1];
    }
    if (weightSum == n) {
      return [weights, scoreSum];
    } else {
      return false;
    }
  }

  // Don't use valid[0]
  var valid1 = [];
  for (ct=1; ct < valid.length; ct++) {
    valid1.push(valid[ct]);
  }
  var opt1 = bestSubset(use, valid1);

  // Use valid[0]
  var use2 = JSON.parse(JSON.stringify(use));
  use2.push(valid[0]);
  var valid2 = [];
  for (ct=1; ct < valid.length; ct++) {
    if ((S[valid[0]][0] & S[valid[ct]][0]) == 0) {
      valid2.push(valid[ct]);
    }
  }
  var opt2 = bestSubset(use2, valid2);

  if (opt1 === false) {
    return opt2;
  } else if (opt2 === false || opt1[1] >= opt2[1]) {
    return opt1;
  } else {
    return opt2;
  }
}

var initValid = [];
for (var ct=0; ct < S.length; ct++) {
  initValid.push(ct);
}
alert(JSON.stringify(bestSubset([], initValid)));

这 returns 组 [4, 11] 得分为 515，如您在原始 post 中所标识。

从非稀疏情况下的一些计算实验（又名 d 数字和目标 (2^d)-1，包括所有数字 1, 2, ..., (2^d)-1），我发现这在位数（它在递归函数顶部检查有效性的次数是O(e^(1.47d))）。这比您分别考虑包括或不包括每个数字 1, 2, ..., (2^d)-1 的蛮力情况要快得多，后者在双指数运行时运行 -- O(2^2^d).

Answer 2

不同的方法（一如既往）：

第一个想法：

您可以为总和小于单个权重的每个值获取一个权重。因此 w_a + w_b < w_c 和 a + b = c，这导致 a简单的权重系统。

再三考虑：

为了更好地理解权重，它必须是自然数，也就是整数。

第三个想法：

为什么不直接使用数字本身进行小幅缩减，使总和小于单个权重。

在一起：

我取数字，取值作为权重。此外，我将它们的值减 1，因此：

a = 1, b = 2, c = 3 w_a + w_b < w_c
w_a = 0, w_b = 1, w_c = 2 => 0 + 1 < 2

公式：权重_n = n - 1

证明：

对于每个被加数，您都会得到 -1 的 malus。所以，对于更多的加数，你得到的数字比原始数字的权重更小。

另一个例子：

weight₁₅(14)应该大于weight₄(3)和weight_之和11 (10).

人数：14 > 3 + 10

我的意思是，这里不需要程序代码。

Answer 3

对于那些用谷歌搜索这个的人，我使用了@josilber 提供的答案，没有递归和重叠保护（见下文）。由于 JS 中的递归深度限制为 1000，我不得不使用循环。不幸的是，对于我的用例，我仍然运行内存不足，所以看起来我必须使用一些启发式方法。

var scores = {1: 7, 2: 4, 3: 36, 4: 5, 5: 32, 6: 50, 7: 84, 8: 4, 9: 30, 10: 50, 11: 510, 12: 47, 13: 73, 14: 344};
var S = [];
var keys = Object.keys(scores);
for (i = 0; i < keys.length; i++) {
  S.push([parseInt(keys[i]), scores[keys[i]]]);
}

var n = Math.pow(2,range.length) -1;  // Target sum
var k = S.length;  // Number of weights

// best[i, j] is scored in position i*(k+1) + j
var best = [];

// Base case
for (var j = 0; j <= k; j++) {
  best.push([[], 0]);
}

// Main loop
for (var i = 1; i <= n; i++) { 
  best.push(false);  // j=0 case infeasible
  for (j = 1; j <= k; j++) {
    var opt1 = best[i * (k + 1) + j - 1];
    var opt2 = false;
    if (S[j - 1][0] <= i) {
      var parent = best[(i - S[j - 1][0]) * (k + 1) + j - 1];
      if (parent !== false) {
        opt2 = [parent[0].slice(), parent[1]];
        var child = S[j - 1];
        var opt2BitSig = 0;
        for (var m = 0; m < opt2[0].length; m++) {
          opt2BitSig |= opt2[0][m];
        }
        if ((opt2BitSig & child[0])) {
          opt2 = false;
        } else {
          opt2[0].push(child[0]);
          opt2[1] += child[1];
        }
      }
    }
    if (opt1 === false) {
      best.push(opt2);
    } else if (opt2 === false || opt1[1] >= opt2[1]) {
      best.push(opt1);
    } else {
      best.push(opt2);
    }
  }
}

console.log(JSON.stringify(best[n * (k + 1) + k]));

查找幂集的加权子集和的最大值

Finding max value of a weighted subset sum of a power set

javascript

algorithm

optimization

mathematical-optimization

subset-sum

第一个想法：

再三考虑：

第三个想法：

在一起：

证明：

另一个例子：