在 MATLAB 中数值计算复值函数的导数

Question

我想在 MATLAB 中计算复值函数（全纯函数）的导数。

我计算了复平面上网格中的函数，并尝试使用柯西-黎曼关系计算导数。

鉴于： u = real(f), v = imag(f), x = real(point), y = imag(point)

导数应为：f' = du/dx + i dv/dx = dv/dy - i du/dy

其中 'd' 是导数运算符。

我试过以下代码：

stepx = 0.01;
stepy = 0.01;
Nx = 2/stepx +1;
Ny = 2/stepy +1;
[re,im] = meshgrid([-1:stepx:1], [-1:stepy:1]);
cplx = re + 1i*im;
z = cplx.^3;

导数应为：

f1 = diff(real(z),1,2)/stepx +1i* diff(imag(z),1,2)/stepx;

或

f2 = diff(imag(z),1,1)/stepy - 1i* diff(real(z),1,1)/stepy;

但是这两个本应相等的导数却不匹配。

我做错了什么？

让我们计算差异小于 stepx 的元素的数量（假设 stepx = stepy）：

lm = min(size(f1));
A = f1(1:lm,1:lm);
B = f2(1:lm,1:lm);

sum(sum(abs(A - B) <= stepx))

并使用@A 提出的修复。东达

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

sum(sum(abs(f1i - f2i) <= stepx))

在第二种情况下，它们的差异都小于应有的 stepx，而在第一种情况下，情况并非如此。

Answer 1

问题是使用两个不同的表达式，在 Matlab 中离散化使用，您正在计算复平面中不同点的近似导数。假设您处于虚值 y 并计算沿实轴 x 的差异，然后第 i 个差异估计 (x(i) + x(i + 1))/2 处的导数，即两个后续 x 值之间的所有中点。另一种方法是估计给定 x 处的导数，但在两个后续 y 值之间的所有中点处。

这也会导致生成的矩阵大小不同。使用第一个公式可以得到一个大小为 201x200 的矩阵，另一个大小为 200x201。这是因为在第一个变体中，沿 x 有 200 个中点，但有 201 个 y 值，反之亦然。

所以答案是，你没有做错任何事，你只是错误地解释了结果。

您可以通过沿另一个维度（未用于导数的维度）显式插值来解决问题：

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

其中 f1 是根据您的第一个公式计算的，f2 是根据第二个公式计算的。现在，两个导数都在两个维度的中点处求值，这就是为什么两个矩阵的大小都是 200x200 的原因。

如果你现在比较它们，你会发现它们在数值误差方面是相同的（毕竟，diff 只计算近似导数，而 interp1 会产生插值误差）。对于您的步长，此误差最大为 1e-4，并且可以通过使用更小的步长进一步减小。

在 MATLAB 中数值计算复值函数的导数

Numerically compute derivative of complex-valued function in MATLAB

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