如何在 Python 中获得更精确的小数值
How can I get more exact decimal values in Python
from math import sqrt
a=1e-8
b=10
c=1e-8
x1 = ((-b)-sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)
x2 = ((-b)+sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)
print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)
print (4*a*c)
print (sqrt(b**2-4*a*c))
print b**2
print 2*a
当我运行程序时，这个returns:
x1 = -1e+09
x2 = 0.0
4e-16
10.0
100.0
2e-08
我需要的是 x2 等于 -1e-9。
问题似乎出在
sqrt((b**2)-(4*a*c))
因为它给出的结果是10，显然是因为4*(10^-8)*(10^-8)几乎等于0，被python.[=15认为是0 =]
这导致：
sqrt((b**2)-(4*a*c)) = sqrt(b**2) = sqrt(10**2) = 10
任何帮助将不胜感激
使用十进制模块：
from decimal import Decimal
a = Decimal('1E-8')
b = 10
c = Decimal('1E-8')
x1 = ((-b)-((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
x2 = ((-b)+((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)
结果
x1 = -999999999.999999999000000000
x2 = -1.0000000000E-9
您也可以使用 bigfloat 库实现同样的效果，精度任意。
from bigfloat import sub, add, mul, div, sqr, sqrt, precision
a=1e-8
b=10
c=1e-8
p = 100
D = sub(sqr(b) , mul(4, mul(a,c) ), precision(p))
x1 = div( - add(b , sqrt(D, precision(p))) , mul(2,a), precision(p))
x2 = div( - sub(b , sqrt(D, precision(p))) , mul(2,a), precision(p))
print x1,x2
-999999999.99999997907743916987153 -9.9999999999981901320509082432747e-10
你不需要额外的精度来解决这个问题：Python floats 已经有足够的精度来解决这个问题。你只需要一个（稍微）聪明的算法。
你的问题源于两个几乎相等的计算值的减法：对于 b 正且大（与 a 和 c 相比）当你做 -b + sqrt(b*b-4*a*c)，您最终得到的结果具有较大的相对误差。但请注意，此问题仅适用于两个根之一：在 -b - sqrt(b*b-4*a*c) 中，不存在此问题。同样，对于 b 大且负的情况，第一个根很好，但第二个根可能会失去准确性。
解决方案是使用您现有的公式来计算不存在抵消问题的根，然后对另一个根使用不同的公式（本质上，使用您知道的乘积的事实两个根是 c / a)。该公式为 2c / (-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)).
这是一些示例代码。它使用 math.copysign 来选择不会导致取消错误的标志：
>>> from math import sqrt, copysign
>>> def quadratic_roots(a, b, c):
... discriminant = b*b - 4*a*c
... q = -b - copysign(sqrt(discriminant), b)
... root1 = q / (2*a)
... root2 = (2*c) / q
... return root1, root2
...
>>> quadratic_roots(a=1e-8, b=10, c=1e-8)
>>> (-1000000000.0, -1e-09)
这处理了数值不稳定的最严重的可能原因。还有第二个可能的原因，在判别式的计算中，如果 b*b 恰好非常接近 4*a*c。在这种情况下，可能会丢失多达一半的正确有效数字（因此每个根只能得到 7-8 个准确数字）。在这种情况下获得全精度结果 将 需要使用扩展精度计算判别式。
loss of significance 上的维基百科文章包含了对这个问题的有用讨论。
from math import sqrt
a=1e-8
b=10
c=1e-8
x1 = ((-b)-sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)
x2 = ((-b)+sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)
print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)
print (4*a*c)
print (sqrt(b**2-4*a*c))
print b**2
print 2*a
当我运行程序时，这个returns:
x1 = -1e+09
x2 = 0.0
4e-16
10.0
100.0
2e-08
我需要的是 x2 等于 -1e-9。
问题似乎出在
sqrt((b**2)-(4*a*c))
因为它给出的结果是10，显然是因为4*(10^-8)*(10^-8)几乎等于0，被python.[=15认为是0 =]
这导致：
sqrt((b**2)-(4*a*c)) = sqrt(b**2) = sqrt(10**2) = 10
任何帮助将不胜感激
使用十进制模块：
from decimal import Decimal
a = Decimal('1E-8')
b = 10
c = Decimal('1E-8')
x1 = ((-b)-((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
x2 = ((-b)+((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)
结果
x1 = -999999999.999999999000000000
x2 = -1.0000000000E-9
您也可以使用 bigfloat 库实现同样的效果，精度任意。
from bigfloat import sub, add, mul, div, sqr, sqrt, precision
a=1e-8
b=10
c=1e-8
p = 100
D = sub(sqr(b) , mul(4, mul(a,c) ), precision(p))
x1 = div( - add(b , sqrt(D, precision(p))) , mul(2,a), precision(p))
x2 = div( - sub(b , sqrt(D, precision(p))) , mul(2,a), precision(p))
print x1,x2
-999999999.99999997907743916987153 -9.9999999999981901320509082432747e-10
你不需要额外的精度来解决这个问题：Python floats 已经有足够的精度来解决这个问题。你只需要一个（稍微）聪明的算法。
你的问题源于两个几乎相等的计算值的减法：对于 b 正且大（与 a 和 c 相比）当你做 -b + sqrt(b*b-4*a*c)，您最终得到的结果具有较大的相对误差。但请注意，此问题仅适用于两个根之一：在 -b - sqrt(b*b-4*a*c) 中，不存在此问题。同样，对于 b 大且负的情况，第一个根很好，但第二个根可能会失去准确性。
解决方案是使用您现有的公式来计算不存在抵消问题的根，然后对另一个根使用不同的公式（本质上，使用您知道的乘积的事实两个根是 c / a)。该公式为 2c / (-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)).
这是一些示例代码。它使用 math.copysign 来选择不会导致取消错误的标志：
>>> from math import sqrt, copysign
>>> def quadratic_roots(a, b, c):
... discriminant = b*b - 4*a*c
... q = -b - copysign(sqrt(discriminant), b)
... root1 = q / (2*a)
... root2 = (2*c) / q
... return root1, root2
...
>>> quadratic_roots(a=1e-8, b=10, c=1e-8)
>>> (-1000000000.0, -1e-09)
这处理了数值不稳定的最严重的可能原因。还有第二个可能的原因，在判别式的计算中，如果 b*b 恰好非常接近 4*a*c。在这种情况下，可能会丢失多达一半的正确有效数字（因此每个根只能得到 7-8 个准确数字）。在这种情况下获得全精度结果 将 需要使用扩展精度计算判别式。
loss of significance 上的维基百科文章包含了对这个问题的有用讨论。