从 "flat array" 索引计算三角矩阵索引？

Question

得到一个表示为平面数组的三角矩阵

0 = [0, 0]
1 = [1, 0], 2 = [1, 1]
3 = [2, 0], 4 = [2, 1], 5 = [2, 2]
6 = [3, 0], 7 = [3, 1], 8 = [3, 2], 9 = [3, 3]

使用原始索引计算索引对的最快方法是什么？一种方法（天真的蛮力）是这样计算的：

void foo(uint n) {
    uint origN = n;
    uint i = 0;
    while(n > i) {
        n -= ++i;
    }
    cout << origN << " = " << "[" << i << ", " << n << "], ";
    if (i == n) {
       cout << std::endl;
    }
}

有没有一种既简单又容易实施的方法？

Answer 1

每行的第一个数字 n 是 r*(r+1)/2，其中 r 是行号。求解 n = r*(r+1)/2 方程，得到正 r 根：

r = (sqrt(1+8*n)-1)/2

因此，要获得任意 n 的行号，您应该将结果四舍五入：

r = floor(sqrt(1+8*n)-1)/2

现在可以发现列号是 n 和该行第一个数字之间的差异：

c = n - r*(r+1)/2

这是 Java 中的示例代码：

public static void foo(int n) {
    int r = (int) Math.floor((Math.sqrt(8 * n + 1) - 1) / 2);
    int c = n - r * (r + 1) / 2;
    System.out.println("n = " + n + "; r = " + r + "; c = " + c);
}

Answer 2

对于输入 n，可以使用以下方法找到答案：

k = (int)(((int)(sqrt(8*n + 1)) - 1)/2)

l = (int)(n - (k * (k+1) /2 ))

答案：

(k,l)

Answer 3

这是一个选项，可能不是最好的（只是为了表明我已经考虑过了）：

这是对单调递增函数的二分搜索：

void bar(uint n) {
    uint i = 1;
    while (n >= i * (i + 1) / 2) {
        i <<= 1;
    }
    i >>= 1;
    uint stepSize = i >> 1;
    while (stepSize) {
        uint tmp = i + stepSize;
        if (n >= tmp * (tmp + 1) / 2) {
            i = tmp;
        }
        stepSize >>= 1;
    }

    cout << n << " = " 
         << "[" << i << ", " << (n - i * (i + 1) / 2) << "], ";
    if (i == n - i * (i + 1) / 2) {
       cout << std::endl;
    }
}

从 "flat array" 索引计算三角矩阵索引？

Compute triangular matrix indices from "flat array" index?

algorithm

performance

pseudocode