在 MATLAB 中求解非线性方程组

Question

我遇到了一个必须求解的非线性方程组。方程组可以写成： Ax + exp(x) = b b 已知 Nx1 矩阵，A 已知 NxN 矩阵，x 未知 Nx1 向量必须解决。 exp 是在 x 向量上按元素定义的。我试图搜索 MATLAB 手册，但我很难找到如何用 MATLAB 求解此类方程，所以我希望有人能帮助我。

Answer 1

我会从线性系统 [A+1]x(0)=b-1 的解开始迭代求解它作为初始猜测，其中 1 是单位矩阵。在迭代过程的每一步，我都会在右侧添加前一个解的指数：Ax(j)=b-exp(x(j-1))

Answer 2

你可以使用 Newton-Raphson。将您的系统重新安排为零残差：

R = A * x + exp(x) - b

然后对R对x求导：

dRdx = A + diag(exp(x))

然后迭代。示例如下：

n = 3;

a = rand(n, n);
b = rand(n, 1);

% solve a * x + exp(x) = b for x

x = zeros(n, 1);

for itr = 1: 10
    x = x - (a + diag(exp(x))) \ (a * x + exp(x) - b);
end

当然，您可以通过在残差足够小后停止迭代来使其更智能。

Answer 3

我刚看到这是一个十字架post。

这是我针对 other posting 的解决方案：

函数可以写成这样的形式：

$$ f \left( x \right) = A x + \exp \left( x \right) - b $$

只要找到$f\left(x\right)$的根就等同于上面的
可以使用 Newton's Method 求根。

$f\left(x\right)$的Jacobian（类似梯度的转置）由下式给出：

$$ J \left( f \left( x \right) \right) = A + diag \left( \exp \left( x \right) \right) $$

因此牛顿迭代由下式给出：

$$ {x}^{k + 1} = {x}^{k} - { J \left( f \left( {x}^{k} \right) \right) }^{ -1} f \left( {x}^{k} \right) $$

您可以在我的 Mathematics Q1462386 GitHub Repository 中查看代码，其中包括雅可比行列式的解析和数值推导。

这是一个运行的结果：

请注意，虽然它找到了这个问题的根，但有不止一个根，因此解决方案是众多解决方案中的一个，并且取决于初始点。

在 MATLAB 中求解非线性方程组

Solving non-linear system of equations in MATLAB

matlab

nonlinear-functions