Matlab - 生成随机非奇异三角矩阵
Matlab - generate random nonsingular triangular matrix
如何生成随机三角矩阵？ (上下)
通常我使用 rand(n) 但如果我尝试 tril(rand(n)) 它将是单数的，我不希望那样。
你的回答是正确的：
A=tril(rand(n))
您可以使用
检查此矩阵是否为奇异矩阵
rcond(A)>eps
或
min(svd(A))>eps
并验证最小奇异值是否大于 eps 或与您的需求相关的任何其他数值公差。 （代码将 return 1 或 0）。对于 n>50，您将开始处理奇异矩阵。
下面是对矩阵如何以其大小接近奇点的小分析...
好了，关于三角矩阵奇点的思考就到这里。三角矩阵的行列式决定奇点，因为它在构建逆矩阵时进入分母。三角矩阵的属性行列式等于对角元素的乘积。
所以对于矩阵 NxN 我们在对角线上有 i.i.d 的乘积。 U(0,1) 数。显然，行列式会随着 N 的增加而减少，因为所有数字都小于 1，而且你拥有的数字越多，产品（又名行列式）的价值就越小。
有趣的是检查 det=X1X2.. .*XN 平均值将下降为 2-N，因为乘积中的每一项都是 U(0,1)，平均值为1/2，而且都是i.i.d。替代检查是计算乘积 PDF 的平均值（参见 https://math.stackexchange.com/questions/659254/product-distribution-of-two-uniform-distribution-what-about-3-or-more），实际上，它会给你完全相同的结果，2-N。行列式的方差也可以计算为第二动量减去均方，它等于 (3-N-4-N ).
请注意，这些是平均值，您可以平均预期，例如，如果您对 N=100 的 106 个三角矩阵进行采样，计算它们的行列式并取平均值，您应该会发现它非常接近 2-100.
这就是问题所在。平均而言，三角随机矩阵随着 N 的增长呈指数增长。 2-10约等于1/1,000。 2-20约等于1/1,000,000。
对于 N=100，它应该平均在 10-30 左右，这使得整个练习没有实际意义。
不幸的是，除了这个简单的分析，我无法提供任何东西。
如果你想要一个条件良好的随机三角矩阵，你可以使用 A2 的三角部分 A =rand(n)。因此 triu(A * A) 对于任何大小 n 条件良好但当然具有复杂性 O(n3) 用于矩阵-矩阵乘法。
如何生成随机三角矩阵？ (上下)
通常我使用 rand(n) 但如果我尝试 tril(rand(n)) 它将是单数的，我不希望那样。
你的回答是正确的：
A=tril(rand(n))
您可以使用
检查此矩阵是否为奇异矩阵 rcond(A)>eps
或
min(svd(A))>eps
并验证最小奇异值是否大于 eps 或与您的需求相关的任何其他数值公差。 （代码将 return 1 或 0）。对于 n>50，您将开始处理奇异矩阵。
下面是对矩阵如何以其大小接近奇点的小分析...
好了，关于三角矩阵奇点的思考就到这里。三角矩阵的行列式决定奇点，因为它在构建逆矩阵时进入分母。三角矩阵的属性行列式等于对角元素的乘积。
所以对于矩阵 NxN 我们在对角线上有 i.i.d 的乘积。 U(0,1) 数。显然，行列式会随着 N 的增加而减少，因为所有数字都小于 1，而且你拥有的数字越多，产品（又名行列式）的价值就越小。
有趣的是检查 det=X1X2.. .*XN 平均值将下降为 2-N，因为乘积中的每一项都是 U(0,1)，平均值为1/2，而且都是i.i.d。替代检查是计算乘积 PDF 的平均值（参见 https://math.stackexchange.com/questions/659254/product-distribution-of-two-uniform-distribution-what-about-3-or-more），实际上，它会给你完全相同的结果，2-N。行列式的方差也可以计算为第二动量减去均方，它等于 (3-N-4-N ).
请注意，这些是平均值，您可以平均预期，例如，如果您对 N=100 的 106 个三角矩阵进行采样，计算它们的行列式并取平均值，您应该会发现它非常接近 2-100.
这就是问题所在。平均而言，三角随机矩阵随着 N 的增长呈指数增长。 2-10约等于1/1,000。 2-20约等于1/1,000,000。
对于 N=100，它应该平均在 10-30 左右，这使得整个练习没有实际意义。
不幸的是，除了这个简单的分析，我无法提供任何东西。
如果你想要一个条件良好的随机三角矩阵，你可以使用 A2 的三角部分 A =rand(n)。因此 triu(A * A) 对于任何大小 n 条件良好但当然具有复杂性 O(n3) 用于矩阵-矩阵乘法。