推导满足三角不等式的图中所有边权值之和与MST的关系
Derive relationship between sum of all edge weights and MST in a graph satisfying the triangle inequality
如果对于每条边 (u, v)，(u, v) 的权重小于或等于从 u 到 v 的任何其他替代路径。
证明对于这样一个图，所有边的总权值<= (m-n+1)*MST，其中MST是最小生成树所有边的总权值。
（提示：图中一条不属于最小生成树的边的最大可能权重是多少？）
解决提示
一条不在最小生成树中的边的权值小于等于MST（三角不等式）
要看到这一点，请考虑从 u 到 v 的唯一另一条路径是整个最小生成树的情况。 （必须存在其他路径，否则该边将在最小生成树中，这是矛盾的。）然后，根据三角不等式，该边的权重必须小于或等于该替代路径的权重，即 MST .
尝试剩下的问题
最多有m-n+1条边不在生成树中。 （在节点数和边数相同的图中，最多有一条边不在 MST 中）。
这些边的总权重<= MST * (m-n+1)。但是当你在最小生成树中添加边的权重时，你会得到图中所有边的权重之和 <= MST * (m-n+2)，这并不那么严格作为你想要的界限。所以这道题一定还有别的套路。
如果对于每条边 (u, v)，(u, v) 的权重小于或等于从 u 到 v 的任何其他替代路径。
证明对于这样一个图，所有边的总权值<= (m-n+1)*MST，其中MST是最小生成树所有边的总权值。
（提示：图中一条不属于最小生成树的边的最大可能权重是多少？）
解决提示
一条不在最小生成树中的边的权值小于等于MST（三角不等式）
要看到这一点，请考虑从 u 到 v 的唯一另一条路径是整个最小生成树的情况。 （必须存在其他路径，否则该边将在最小生成树中，这是矛盾的。）然后，根据三角不等式，该边的权重必须小于或等于该替代路径的权重，即 MST .
尝试剩下的问题
最多有m-n+1条边不在生成树中。 （在节点数和边数相同的图中，最多有一条边不在 MST 中）。
这些边的总权重<= MST * (m-n+1)。但是当你在最小生成树中添加边的权重时，你会得到图中所有边的权重之和 <= MST * (m-n+2)，这并不那么严格作为你想要的界限。所以这道题一定还有别的套路。