如何在 Coq 的简化过程中应用一次函数？

Question

据我了解，Coq 中的函数调用是不透明的。有时，我需要使用 unfold 来应用它，然后 fold 将函数 definition/body 变回它的名字。这通常很乏味。我的问题是，是否有更简单的方法让应用函数调用的特定实例？

作为一个最小的例子，对于列表 l，证明右追加 [] 不会改变 l：

Theorem nil_right_app: forall {Y} (l: list Y), l ++ [] = l.
Proof.
  induction l. 
    reflexivity.

剩下：

1 subgoals
Y : Type
x : Y
l : list Y
IHl : l ++ [] = l
______________________________________(1/1)
(x :: l) ++ [] = x :: l

现在，我需要应用 ++ 的定义（即 app）一次（假设目标中还有其他 ++ 我不想 apply/expand).目前，我知道实现这个一次性应用程序的唯一方法是先展开 ++ 然后折叠它：

    unfold app at 1. fold (app l []).

给予：

______________________________________(1/1)
x :: l ++ [] = x :: l

但这很不方便，因为我必须弄清楚要在 fold 中使用的术语的形式。我做了计算，而不是 Coq。我的问题归结为：

有没有更简单的方法实现这个一次性函数应用达到同样的效果？

Answer 1

如果你想让 Coq 为你执行一些计算，你可以使用 simpl、compute 或 vm_compute。如果函数的定义是Opaque，上面的解法会失败，但是你可以先证明一个重写引理如：

forall (A:Type) (a:A) (l1 l2: list A), (a :: l1) ++ l2 = a :: (l1 ++ l2).

使用您的技术，然后在必要时rewrite使用它。

这是一个使用 simpl 的例子：

Theorem nil_right_app: forall {Y} (l: list Y), l ++ nil = l.
Proof.
(* solve the first case directly *)
intros Y; induction l as [ | hd tl hi]; [reflexivity | ]. 
simpl app. (* or simply "simpl." *)
rewrite hi.
reflexivity.
Qed.

为了回答您的评论，我不知道如何告诉 cbv 或 compute 只计算某个符号。请注意，在您的情况下，它们似乎过于急切地计算并且 simpl 效果更好。

如何在 Coq 的简化过程中应用一次函数？

How to apply a function once during simplification in Coq?

coq

coq-tactic