这种使用移位运算的除法近似是如何工作的？

Question

在java.util.DualPivotQuicksort中出现如下代码行：

// Inexpensive approximation of length / 7
int seventh = (length >> 3) + (length >> 6) + 1;

变量 length 是一个大于或等于 47 的 int。

我熟悉有符号右移运算符的工作原理。但是我不知道为什么这些特定的操作会导致除以 7 的近似值。有人可以解释一下吗？

Answer 1

>> 是位移位。你右移的每一位，实际上除以 2 的数。

因此，(length >> 3)是length/8（四舍五入），(length >> 6)是length/64。

取(length/8)+(length/64)约length*(1/8+1/64)=length*0.140625（约）

1/7 = 0.142857...

末尾的+1可以拆分为每个term的+0.5，这样length/8四舍五入到最接近的（而不是向下），而length/64也四舍五入到最接近的值。

一般来说，您可以很容易地近似 1/y，其中 y = 2^n+-1 使用类似的位移近似。

无限几何级数为：

1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1 / (1 - x)

乘以 x:

x + x^2 + x^3 + ... = x/(1 - x)

并代入 x = 1/2^n

1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = (1/2^n) / (1 - 1/2^n)
1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = (1/2^n) / ((2^n - 1)/2^n)

1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = 1 / (2^n - 1)

这大约是 y = 2^n - 1。

要近似 y = 2^n + 1，请替换为 x = -1/2^n。

- 1/2^n + 1/2^2n - 1/2^3n + ... = (-1/2^n) / (1 + 1/2^n)
1/2^n - 1/2^2n + 1/2^3n - ... = (1/2^n) / ((2^n + 1)/2^n)

1/2^n - 1/2^2n + 1/2^3n - ... = 1 / (2^n + 1)

然后将无限级数截断到所需的精度。

Answer 2

要为 ronalchn 的回答添加数学背景：

因为7=8-1=8*(1-1/8)，按几何级数除以7等同于乘以

1/7 = 1/8·(1+1/8+1/8²+1/8³+…) = 1/8+1/8²+1/8³+…

要对除以 5 做同样的事情，可以使用 3·5=16-1，因此

1/5 = 3/16·(1+1/16+1/16²+…)

这会邀请像

这样的公式

(3*n)<<4 + (3*n) << 8 + 1

Answer 3

在众所周知的等式

中设置x = 1/8

1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1 / (1 - x)

并简化，得到

1/8 + 1/64 + 1/512 + ...  = 1/7

在您的示例中，将此两边乘以 length，得到

length / 7 = length / 8 + length / 64 + length / 512 + ...

请注意，这是 "exact" 除法，而不是整数除法 - 我在写数学，而不是 Java 代码。

然后近似假设第三项和后续项太小而无关紧要，并且 length / 8 和 length / 64 中的一项平均可能需要向上舍入，而不是向下舍入.所以，现在使用整数除法，length / 7 = length / 8 + length / 64 + 1 是一个非常好的近似值。

你给出的表达式，使用按位运算符，只是另一种写法，前提是 length 是正数。

Answer 4

正在计算

的所有值

n/8 + n/64 - n/7

误差呈线性增长，同时保持负值。

下面的列表显示给定错误的第一次出现

n = 7 e = -1
n = 63 e = -2
n = 511 e = -3
n = 959 e = -4
n = 1407 e = -5
n = 1855 e = -6
n = 2303 e = -7
n = 2751 e = -8
n = 3199 e = -9
n = 3647 e = -10
n = 4095 e = -11
n = 4543 e = -12
n = 4991 e = -13
n = 5439 e = -14
n = 5887 e = -15
n = 6335 e = -16
n = 6783 e = -17
n = 7231 e = -18
n = 7679 e = -19
n = 8127 e = -20
n = 8575 e = -21
n = 9023 e = -22
n = 9471 e = -23
n = 9919 e = -24
...

比例明显趋向于1/448 = 1/8 + 1/64 - 1/7。

这种使用移位运算的除法近似是如何工作的？

How does this approximation of division using bit shift operations work?

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