使用迭代替换查找多次重复的运行时间

Question

我正在尝试使用迭代替换查找以下重复的运行时间：

T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n

问题是有两个 T(n/x) 项，事实证明，为这种情况找到一般形式非常具有挑战性。对于这样的情况，是否应该遵循使用迭代替换的一般准则？

Answer 1

此重复来自 class 个 Akra–Bazzi 个重复。根据公式，解决方案是：

或者，假设 T(1) = c0 那么你可以通过归纳法证明 T(n) <= max(6,c0)*n。

您也可以使用替换规则。方法如下：

T(n) = T(n/2)+T(n/3) + n = 
= n+(n/2+n/3)+T(n/(2*2))+T(n/(2*3))+T(n/(3*2))+T(n/(3*3))
= n+(n/2+n/3)+(n/(2*2)+n/(2*3)+n/(3*2)+n/(3*3))
             +T(n/(2*2*2))+T(n/(2*2*3))
             +T(n/(2*3*2))+T(n/(2*3*3))
             +T(n/(3*2*2))+T(n/(3*2*3))
             +T(n/(3*3*2))+T(n/(3*3*3))=
...
= n * (1 + 5/6 + (5/6)^2 + (5/6)^3 + (5/6)^4 + ...)
= 6 * n (assuming n = 2^k3^k. you get < 6*n otherwise)

Answer 2

这里没有什么正式的，但是

T(n) = 2T(n/2) + n // O(nlog(n))

所以你的循环可能仍然是 O(nlog(n))？

基本情况是什么？

使用迭代替换查找多次重复的运行时间

Find runtime of Multiple Recurrences using Iterative Substitution

algorithm

runtime

iteration

substitution