两个物体在什么增量时间发生碰撞？

Question

如果之前有人发布过，我深表歉意。我似乎无法通过 Whosebug 或我的任何其他 google 搜索找到关于该主题的任何内容。

我有两个对象，都包含一个位置（x 和 y），以及一个线速度（x 和 y）。这些对象正在通过二维平面移动。我需要检测这些对象何时会发生碰撞，是否会发生碰撞。我的情况最大的问题是物体的半径，因为这会在它们接触时产生影响。

在一个月的时间里，我尝试了各种解决方案来解决这个问题，但我就是没有破解它。我设法做的是计算对象的两个直线公式，最后得到两个 (y=mx + c) 的 b 和 c。我试图将这两个公式相互比较，其中 x=x 和 y=y，但最终得到一个非常复杂的方程式，并且不知道如何将其转换为 c#。

此函数也需要在 <50 毫秒内触发，这会使事情复杂化。任何建议都会有很长的路要走。

Answer 1

您可以将问题表述为两个 vector 方程组

p1 = u1 + v1 t
p2 = u2 + v2 t

其中 p1 是给定初始位置 u1、速度 v1 和 scalar 时间 t 的第一个对象的位置。我们想解决物体刚刚接触的那一刻，描述为

r1 + r2 = |p1 - p2|

其中 r1 和 r2 是物体的半径。让我们定义一些变量，这样我们的推导就更清晰了：

x  = u1.x - u2.x
y  = u1.y - u2.y
x' = v1.x - v2.x
y' = v1.y - v2.y

那么我们可以进行如下求解：

    r1 + r2    = |p1 - p2|
               = sqrt((p1.x - p2.x)^2 + (p1.y - p2.y)^2)                 definition of vector magnitude

=> (r1 + r2)^2 = (p1.x - p2.x)^2 + (p1.y - p2.y)^2                       square both sides
               = (x + x' t)^2 + (y + y' t)^2                             substitute variable definitions
               = x^2 + 2 x x' t + x'^2 t^2 + y^2 + 2 y y' t + y'^2 t^2   expand squares of sums
               = (x'^2 + y'^2) t^2 + 2 (x x' + y y') t + x^2 + y^2       rearrange terms

=> (x'^2 + y'^2) t^2 + 2 (x x' + y y') t + x^2 + y^2 - (r1 + r2)^2 = 0   rearrange terms

这是一个二次方程，所以我们可以使用 quadratic formula 和

求出 t

a = x'^2 + y'^2
b = 2 (x x' + y y')
c = x^2 + y^2 - (r1 + r2)^2

如果物体不发生碰撞，discriminant b^2 - 4 a c 将为负数。如果对象过去发生碰撞，则 t 的值可能为负。

说到这里，我们如何解释我们得到了两个根，或者说 t 的两个值？考虑下图：

如您所见，我们获得了第一次接触的解决方案，"entry"，以及对象相交和分开的解决方案，"exit"。根据您的需要，这可能会有用，但如果您只需要联系时间，请选择较小的 t。

两个物体在什么增量时间发生碰撞？

At what delta time will two objects collide?

c#

collision