闭合轮廓的绕数算法
Algorithm for the Winding Number of a Closed Contour
假设我有一个由两个函数 x(p) 和 y(p) 定义的等高线形状，其中 p 是沿着形状周长移动的距离，在 [=13] 之间归一化=] 和 1。例如，关于原点的单位圆将定义为 x(p) = sin(2 * pi * p) 和 y(p) = cos(2 * pi * p).
确定一个点是否在该圆内的一个简单测试是计算该点与原点的距离，然后检测该距离是否小于或等于 1.
但是如果我的形状有多个交叉点，并且比圆形复杂得多怎么办？
对于由一组点定义的离散形状存在 point in polygon 测试。这个算法很容易找到，因为它被用在很多地方。但是如果我不想使用我的形状的离散定义，我可以使用什么算法来确定绕组数，假设形状是在编译时定义的？
如果你知道一个点在形状内部（或外部）并且形状光滑且不相交，那么你可以将已知点连接到任何其他点并计算它越过边界的次数.偶数次表示未知点同样位于内部（或外部）。奇数表示相反。
这是基于乔丹曲线定理。我记得，定理的证明需要绕数，但是应用起来很简单。
如何计算闭合曲线的总曲率（假设它处处可微），然后除以 2PI？请参阅 Wiki 的总曲率页面 here。
推广多边形测试中的点，您可以找到 y(p)=0 的所有解决方案，使得 x(p)>0 并使用它们的奇偶性。
在圆的情况下，cos(2πp)=0为p=(k+1/2)π，p范围内只有一个值[0,1)使得sin(2πp)>0.
到目前为止，如果您可以解析地求解 y 方程，那就太好了。否则，您将需要一个可靠的数值求解器，能够找出所有的根。另一种方法是使曲线变平（将其绘制为折线，确保最大偏差容差），然后应用多边形算法。
为了第二个例子，让我们用等式 r = 0.5 + cos Θ 和沿 X.
的一些测试点来考虑 Pascal 的 limaçon
y = (0.5 + cos Θ) sin Θ = 0
对于 Θ=0、2π/3、π、4π/3。对应的横坐标为1.5、0、0.5和0.
您可以得出结论，X 轴上的内部点在 0.5 和 1.5 之间（也在 0 以退化的方式）。
假设我有一个由两个函数 x(p) 和 y(p) 定义的等高线形状，其中 p 是沿着形状周长移动的距离，在 [=13] 之间归一化=] 和 1。例如，关于原点的单位圆将定义为 x(p) = sin(2 * pi * p) 和 y(p) = cos(2 * pi * p).
确定一个点是否在该圆内的一个简单测试是计算该点与原点的距离，然后检测该距离是否小于或等于 1.
但是如果我的形状有多个交叉点，并且比圆形复杂得多怎么办？
对于由一组点定义的离散形状存在 point in polygon 测试。这个算法很容易找到，因为它被用在很多地方。但是如果我不想使用我的形状的离散定义，我可以使用什么算法来确定绕组数，假设形状是在编译时定义的？
如果你知道一个点在形状内部（或外部）并且形状光滑且不相交，那么你可以将已知点连接到任何其他点并计算它越过边界的次数.偶数次表示未知点同样位于内部（或外部）。奇数表示相反。
这是基于乔丹曲线定理。我记得，定理的证明需要绕数，但是应用起来很简单。
如何计算闭合曲线的总曲率（假设它处处可微），然后除以 2PI？请参阅 Wiki 的总曲率页面 here。
推广多边形测试中的点，您可以找到 y(p)=0 的所有解决方案，使得 x(p)>0 并使用它们的奇偶性。
在圆的情况下，cos(2πp)=0为p=(k+1/2)π，p范围内只有一个值[0,1)使得sin(2πp)>0.
到目前为止，如果您可以解析地求解 y 方程，那就太好了。否则，您将需要一个可靠的数值求解器，能够找出所有的根。另一种方法是使曲线变平（将其绘制为折线，确保最大偏差容差），然后应用多边形算法。
为了第二个例子，让我们用等式 r = 0.5 + cos Θ 和沿 X.
y = (0.5 + cos Θ) sin Θ = 0
对于 Θ=0、2π/3、π、4π/3。对应的横坐标为1.5、0、0.5和0.
您可以得出结论，X 轴上的内部点在 0.5 和 1.5 之间（也在 0 以退化的方式）。