如何在迷宫中找到最短路线？

Question

我想编写一个代码，当给定一个迷宫作为矩阵时给出最短路线。

在这种情况下，这个迷宫的矩阵表示如下

## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 2 0 0 0
## [2,] 1 1 0 1
## [3,] 0 1 0 0
## [4,] 1 1 1 3
 , where  0 denotes inaccessible points, 1 denotes accessible points.
          2 denotes the starting point, and 3 denotes the destination.

并且，期望的结果是这样的：c(4,1,4,4,1,1)，其中 1 表示东，2 表示北，3 表示西，4 表示南。

我猜一个可能的代码可能是一个函数，当它被赋予迷宫的矩阵表示时，将最短路径作为向量给出。

除了这个案例，我想知道是否可以将覆盖范围扩展到一般案例，虽然这看起来有点多余。我想知道是否可以制作一个理想的代码，以便它覆盖任意 n x m 大小的矩阵，尽管只有 4 x 4 的情况就足够了。我想知道起点和终点是否可以位于顶点以外的任意点，尽管顶点情况就足够了。

Answer 1

一种可能性是在目标处设置一个值为 1 的矩阵，每个方块的值以 0.9 的速率递减，作为距目的地的曼哈顿距离的函数。障碍物的值为零，起点是任意的。

一旦定义了这样一个矩阵，最短路径就是通过迭代的方式去相邻的值增加最大的方格。

例如，在 M. Sugiyama 的书 "Statistical Reinforcement Learning" 的第一章中描述了这种方法。

因此您的矩阵可能如下所示：

     [,1]  [,2]  [,3] [,4]
[1,] 0.53  0.00  0.0  0.00
[2,] 0.59  0.66  0.0  0.81
[3,] 0.00  0.73  0.0  0.00
[4,] 0.73  0.81  0.9  1.00

算法将是：

选择一个非零值的起始方块
移动到距离你一步之遥的那些方格中具有最高值的方格。
重复上一步，直到到达值为 1 的方格

请注意，值 [2,4] 事实上 不可访问，因此应排除在可能的起点之外。目的地不需要在拐角处。

Answer 2

您可以构建一个图表来表示矩阵中各位置之间的有效移动：

# Construct nodes and edges from matrix
(nodes <- which(m == 1 | m == 2 | m == 3, arr.ind=TRUE))
#       row col
#  [1,]   1   1
#  [2,]   2   1
#  [3,]   4   1
#  [4,]   2   2
#  [5,]   3   2
#  [6,]   4   2
#  [7,]   4   3
#  [8,]   2   4
#  [9,]   4   4
edges <- which(outer(seq_len(nrow(nodes)),seq_len(nrow(nodes)), function(x, y) abs(nodes[x,"row"] - nodes[y,"row"]) + abs(nodes[x,"col"] - nodes[y,"col"]) == 1), arr.ind=T)
(edges <- edges[edges[,"col"] > edges[,"row"],])
#      row col
# [1,]   1   2
# [2,]   2   4
# [3,]   4   5
# [4,]   3   6
# [5,]   5   6
# [6,]   6   7
# [7,]   7   9

library(igraph)
g <- graph.data.frame(edges, directed=FALSE, vertices=seq_len(nrow(nodes)))

那么你可以解决指定起点和终点之间的最短路径问题：

start.pos <- which(m == 2, arr.ind=TRUE)
start.node <- which(paste(nodes[,"row"], nodes[,"col"]) == paste(start.pos[,"row"], start.pos[,"col"]))
end.pos <- which(m == 3, arr.ind=TRUE)
end.node <- which(paste(nodes[,"row"], nodes[,"col"]) == paste(end.pos[,"row"], end.pos[,"col"]))
(sp <- nodes[get.shortest.paths(g, start.node, end.node)$vpath[[1]],])
#      row col
# [1,]   1   1
# [2,]   2   1
# [3,]   2   2
# [4,]   3   2
# [5,]   4   2
# [6,]   4   3
# [7,]   4   4

最后，您可以通过对最终选定节点集的简单操作来确定方向（1：东；2：北；3：西；4：南）：

dx <- diff(sp[,"col"])
dy <- -diff(sp[,"row"])
(dirs <- ifelse(dx == 1, 1, ifelse(dy == 1, 2, ifelse(dx == -1, 3, 4))))
# [1] 4 1 4 4 1 1

此代码适用于任意大小的输入矩阵。

数据：

(m <- matrix(c(2, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 3), nrow=4))
#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]    2    0    0    0
# [2,]    1    1    0    1
# [3,]    0    1    0    0
# [4,]    1    1    1    3

Answer 3

我可能会使用 gdistance package, demonstrated in another setting here:

中的函数

library(gdistance) ## A package to "calculate distances and routes on geographic grids"

## Convert sample matrix to a spatial raster
m = matrix(c(2, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 3), nrow=4)
R <- raster(m)

## Convert start & end points to SpatialPoints objects
startPt <- SpatialPoints(xyFromCell(R, Which(R==2, cells=TRUE)))
endPt   <- SpatialPoints(xyFromCell(R, Which(R==3, cells=TRUE)))

## Find the shortest path between them
## (Note: gdistance requires that you 1st prepare a sparse "transition matrix"
##  whose values give the "conductance" of movement between pairs of cells)
tr1 <- transition(R, transitionFunction=mean, directions=4)
SPath <- shortestPath(tr1, startPt, endPt, output="SpatialLines")

## Extract your direction codes from the steps taken in getting from 
## one point to the other. 
## (Obfuscated, but it works. Use some other method if you prefer.)
steps <- sign(diff(coordinates(SPath)[[1]][[1]]))
(t(-steps)+c(2,3))[t(steps!=0)]
## [1] 4 1 4 4 1 1

## Graphical check that this works
plot(R>0)
plot(rBind(startPt, endPt), col=c("yellow", "orange"), pch=16, cex=2, add=TRUE)
plot(SPath, col="red", lwd=2, add=TRUE)

如何在迷宫中找到最短路线？

How do I get the shortest route in a labyrinth?

r

algorithm

path-finding