Isabelle 自动证明器在引理上工作，挂在引理的特例上

Question

为什么第二个引理的 "auto" 证明挂起？第二个引理是第一个引理的特例。

  primrec ListSumTAux :: "nat list ⇒ nat ⇒ nat" where
    "ListSumTAux []     n = n" |
    "ListSumTAux (x#xs) n = ListSumTAux xs (n+x)" 

  lemma ListSumTAux_1 : " ∀a b. ListSumTAux xs (a+b) = a + ListSumTAux xs b"
    apply (induct xs)
    apply (auto)       (* Works fine *)
  done  

  lemma ListSumTAux_2 : "∀ a. ListSumTAux xs a = a + ListSumTAux xs 0 "  
    apply (induct xs)
    apply (auto)       (* Hangs on this *)
  oops

Answer 1

首先：用HOL通用量词表述目标不方便∀。无论如何，目标中的自由变量都是隐式普遍量化的，所以你可以简单地省略 ∀。但是，您将告诉 induction 命令在归纳步骤中使用 arbitrary:

普遍量化这些变量

lemma ListSumTAux_1 : "ListSumTAux xs (a+b) = a + ListSumTAux xs b"
  apply (induct xs arbitrary: a b)
  apply (auto)
done

现在，回答您的问题：auto 卡住了，因为您的归纳假设具有

的形式

⋀a. ListSumTAux xs a = a + ListSumTAux xs 0

auto使用伊莎贝尔的简化器，将此作为重写规则。但是，您会注意到此规则的左侧与此循环的右侧匹配，这导致无限重写序列

ListSumTAux xs a → a + ListSumTAux xs 0 → a + (0 + ListSumTAux xs 0) → 
    a + (0 + (0 + ListSumTAux xs 0))

发生这些情况时，您可以采取以下措施：

你可以做一个结构化的 Isar 证明并手工做事
你可以尝试翻转问题方程，即将目标写成a + ListSumTAux xs 0 = ListSumTAux xs a。那么左边就不再和右边匹配了。
您可以在等式中引入一个额外的前提，例如 a ≠ 0，以防止简化器循环。

在任何情况下，您都无法通过这种方式证明您的目标，因为它太具体了：如果您将目标表述为 ListSumTAux xs a = a + ListSumTAux xs 0，那么您将在 0归纳假设也是如此，但是当然，您的累加器不会总是 0.

这是归纳证明中的一个常见问题，尤其是当涉及累加器时，您需要概括您的陈述以在证明起作用之前加强归纳假设——就像您在引理的第一个陈述中所做的那样， ListSumTAux_1。

Isabelle 自动证明器在引理上工作，挂在引理的特例上

Isabelle auto prover works on lemma, hangs on special case of the lemma

isabelle

theorem-proving