求幂 (^) 之后是什么数学运算？

Question

让我们给表达式命名：

x+3 = x+1+1+1 // lvl 1
x*3 = x+x+x   // lvl 2
x^3 = x*x*x   // lvl 3

什么是数学术语/真实姓名/主题 for lvls 后 3?

喜欢：

x (lvl 4 operation) 3 = x^x^x
x (lvl 5 operation) 3 = x(lvl 4 operation)x(lvl 4 operation)x
..

提前致谢。

P.S。以上都不是编程codes/languages

Answer 1

Tetration is the next hyperoperator after exponentiation. The operator is noted as ↑↑ — or ^^ in ASCII — following Knuth's notation。

序列中的下一个操作是pentation, then hexation, heptation, octation, etc. Ackermann's three-argument function递归计算这些操作。

╭────────┬────────────────┬─────────────┬───────────────────╮
│  Level │     Name       │  Notation   │ Ackermann (3-arg) │
╞════════╪════════════════╪═════════════╪═══════════════════╡   
│    1   │   Successor    │ a++ (unary) │   φ(a, 1, 0)      │
│    2   │   Addition     │ a+b         │   φ(a, b, 0)      │
│    3   │ Multiplication │ a×b         │   φ(a, b, 1)      │ 
│    4   │ Exponentiation │ a↑b         │   φ(a, b, 2)      │
│    5   │   Pentation    │ a↑↑b        │   φ(a, b, 3)      │
│    6   │   Hexation     │ a↑↑↑b       │   φ(a, b, 4)      │
│    7   │   Heptation    │ a↑↑↑↑b      │   φ(a, b, 5)      │
│    8   │   Octation     │ a↑↑↑↑↑b     │   φ(a, b, 6)      │
╰────────┴────────────────┴─────────────┴───────────────────╯

Answer 2

除求幂外，实际上没有任何通用操作（主要是由于缺乏需求）。一个可能的扩展是 tetration，它缩写了一堆具有相同值的指数。简而言之（使用 Knuth's up-arrow notation

a ^^ 1 = a
a ^^ n = a^(a^^(n-1))
       = a ^ a ^ ... ^ a  (n items)

向上箭头符号本身可以堆叠，a^^^a 是 a 的堆叠 a^^a 高，a^^^^a 堆叠 a^^^a 高等。（创建的数字大得可笑；阅读 Graham's number 了解您可以创建多大的数字。）

Answer 3

使这个问题成为 Haskell 问题的一种方法是根据自然数的 "paramorphism" 来设置实施阿克曼函数（无论哪个版本）的挑战，这里通过 [=11 表示=]，没有其他形式的递归。

paraNat :: t -> ((Integer, t) -> t) -> Integer -> t
paraNat base step n | n > 0 = step (m, paraNat base step m) where m = n - 1
paraNat base step _         = base

众所周知"paramorphism"对应"primitive recursion"，阿克曼函数不在"primitive recursive functions"的class中也是众所周知的事实。然而，这个问题有一个解决方案。线索是 paraNat 在其 return 类型 t 中是多态的，而 "primitive recurisve functions" 的 class 固定 t 为自然数。

（我意识到通过提出问题来回答问题有点不正统，但我希望它无论如何都很有趣。如果人们认为它有问题，我会删除这个答案。）

求幂 (^) 之后是什么数学运算？

What math operation comes after exponentiation (^)?

math

discrete-mathematics

operation

exponentiation