Isabelle - 需要 exI 和 refl 行为解释
Isabelle - exI and refl behavior explanation needed
我试图理解下面的引理。
- 为什么
exI中引入了?y2原理图变量？
- 为什么
refl 没有考虑它（所以：x = x）？
lemma "∀x. ∃y. x = y"
apply(rule allI) (* ⋀x. ∃y. x = y *)
thm exI (* ?P ?x ⟹ ∃x. ?P x *)
apply(rule exI) (* ⋀x. x = ?y2 x *)
thm refl (* ?t = ?t *)
apply(rule refl)
done
UPDATE（因为我无法在注释中格式化代码）：
这是相同的引理，但使用了 simp 进行了不同的证明。
lemma "∀x. ∃y. x = y"
using [[simp_trace, simp_trace_depth_limit = 20]]
apply (rule allI) (*So that we start from the same problem state. *)
apply (simp only:exI)
done
轨迹显示：
[0]Adding rewrite rule "HOL.exI":
?P1 ?x1 ⟹ ∃x. ?P1 x ≡ True
[1]SIMPLIFIER INVOKED ON THE FOLLOWING TERM:
⋀x. ∃y. x = y
[1]Applying instance of rewrite rule "HOL.exI":
?P1 ?x1 ⟹ ∃x. ?P1 x ≡ True
[1]Trying to rewrite:
x = ?x1 ⟹ ∃xa. x = xa ≡ True <-- NOTE: not ?y2 xa or similar!
[2]SIMPLIFIER INVOKED ON THE FOLLOWING TERM:
x = ?x1
[1]SUCCEEDED
∃xa. x = xa ≡ True
显然 simp 和 rule 处理 exI 的方式不同。剩下的问题是：rule 行为背后的机械（程序）推理是什么。
当您对某些事实thm使用rule thm时，伊莎贝尔对thm的结论与当前目标进行高阶统一。如果有统一符，则用它来实例化目标和定理的结论，然后进行解析（即用thm的假设代替目标）。
这意味着：
目标中的原理图变量可以通过rule统一实例化
仅出现在thm假设中的变量不会被统一实例化，因此将保持示意图。这样，您最终会在新目标中得到示意图变量。这样的变量在某种意义上可以看作是存在，因为如果你能证明只有一个的假设，thm的结论就成立任意值。
在 exI 的情况下，您有 ?P ?x ⟹ ∃x. ?P x。当你应用rule exI时，变量?P被实例化为λy. x = y，但是变量?x只出现在exI的假设中，所以它仍然是示意图。这意味着您可以在稍后的证明中为 ?x 选择任何您想要的值。
更准确地说，您最终以 ⋀x. x = ?y2 x 作为目标。你可能会问“为什么不只是 ⋀x. x = ?y2？”这意味着你必须证明 x 等于某个固定值 y2 对于 所有 可能x 的值。这显然不是一般情况。 ⋀x. x = ?y2 x 意味着你必须证明每个 x 等于一些可能依赖于 x 的 y2 – 或者，等价地，有一个函数 y2 那，当给定 x 时，输出 x.
当然还有这样的函数，就是恒等函数λx. x。这正是当你应用 rule refl 时 ?y2 被实例化的目标：目标 x = ?y2 x 与 refl ?t = ?t 的结论统一并且你最终得到 ?t = x和 ?y2 = λx. x，并且由于 refl 没有假设，这个决议完成了证明。
我不完全确定你所说的“为什么 refl 中没有考虑它？”是什么意思，但我希望我已经回答了你的问题。
从专家那里得到更完整的答案，但我对你的第二部分给出了简短的回答。
Isabelle 的伟大之处在于它提供了许多不同的方法来证明一个问题。
您的新问题类似于 L.Paulson 对 FOM 的评论：您通过将问题切换为 rule 与 simp 来移动目标 post：
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2015-October/019312.html
对 simp 有一个基本的了解实际上是一个更容易追求的目标，否则我不会在这里添加我的回复。
rule和自然推演
rule 的使用是自然推导 (ND) 的使用，大多数人在 ND 上都跟不上速度。 ND的使用需要理解ND，所以像你的第一个问题这样的问题可能会导致一个不简单的答案，因为任何信息性的东西都不能成为一个线性答案，尤其是由于事情比如原理图变量（你问过的）、分辨率、统一、重写等。
搜索自然演绎法，您会找到关于它的标准维基页面。有很多关于自然演绎的书籍，尽管由于一阶逻辑书籍，它们在 "logic" 上的搜索中被淹没了。一本受欢迎的书是 计算机科学中的逻辑，第 2 本书，作者是 Huth 和 Ryan。
如果你研究 ND，你会发现 exI 符合 ND 规则之一。
我还没有花时间来加快 ND 的速度，因为我一直在进步，但对 ND 的了解并不多。
Sledgehammer 和自动方法 auto、simp、blast、induct、cases 等，以及 Sledgehammer 使用的一些那些，使我无法找到时间以自然的方式变得更好。
答案和 M.Eberl 一样，虽然不是简单的解释，但帮助我在这里吸收一点，那里吸收一点。
Simp，我认为是简单的替换（重写）
simp 背后的机制非常简单，与自然演绎相比。你定义一个公式并证明它：
lemma foo [simp]: "left_hand_side = right_hand_side"
在另一个定理的证明中，当simp这样或那样调用时，或者foo展开时，有left_hand_side的地方被[=26代替了=].这只是经典的数学替换。
我想它也可能是 "rewriting"，但我对重写一无所知，除了他们谈论它。
有很多关于如何以及是否应该自动设置（以防止循环）的细节，比如 [simp] 或 declare foo_def [simp add]，但这只是正常编程的细节.
我试图理解下面的引理。
- 为什么
exI中引入了?y2原理图变量？ - 为什么
refl没有考虑它（所以：x = x）？
lemma "∀x. ∃y. x = y" apply(rule allI) (* ⋀x. ∃y. x = y *) thm exI (* ?P ?x ⟹ ∃x. ?P x *) apply(rule exI) (* ⋀x. x = ?y2 x *) thm refl (* ?t = ?t *) apply(rule refl) done
UPDATE（因为我无法在注释中格式化代码）：
这是相同的引理，但使用了 simp 进行了不同的证明。
lemma "∀x. ∃y. x = y" using [[simp_trace, simp_trace_depth_limit = 20]] apply (rule allI) (*So that we start from the same problem state. *) apply (simp only:exI) done
轨迹显示：
[0]Adding rewrite rule "HOL.exI": ?P1 ?x1 ⟹ ∃x. ?P1 x ≡ True [1]SIMPLIFIER INVOKED ON THE FOLLOWING TERM: ⋀x. ∃y. x = y [1]Applying instance of rewrite rule "HOL.exI": ?P1 ?x1 ⟹ ∃x. ?P1 x ≡ True [1]Trying to rewrite: x = ?x1 ⟹ ∃xa. x = xa ≡ True <-- NOTE: not ?y2 xa or similar! [2]SIMPLIFIER INVOKED ON THE FOLLOWING TERM: x = ?x1 [1]SUCCEEDED ∃xa. x = xa ≡ True
显然 simp 和 rule 处理 exI 的方式不同。剩下的问题是：rule 行为背后的机械（程序）推理是什么。
当您对某些事实thm使用rule thm时，伊莎贝尔对thm的结论与当前目标进行高阶统一。如果有统一符，则用它来实例化目标和定理的结论，然后进行解析（即用thm的假设代替目标）。
这意味着：
目标中的原理图变量可以通过
rule统一实例化仅出现在
thm假设中的变量不会被统一实例化，因此将保持示意图。这样，您最终会在新目标中得到示意图变量。这样的变量在某种意义上可以看作是存在，因为如果你能证明只有一个的假设，thm的结论就成立任意值。
在 exI 的情况下，您有 ?P ?x ⟹ ∃x. ?P x。当你应用rule exI时，变量?P被实例化为λy. x = y，但是变量?x只出现在exI的假设中，所以它仍然是示意图。这意味着您可以在稍后的证明中为 ?x 选择任何您想要的值。
更准确地说，您最终以 ⋀x. x = ?y2 x 作为目标。你可能会问“为什么不只是 ⋀x. x = ?y2？”这意味着你必须证明 x 等于某个固定值 y2 对于 所有 可能x 的值。这显然不是一般情况。 ⋀x. x = ?y2 x 意味着你必须证明每个 x 等于一些可能依赖于 x 的 y2 – 或者，等价地，有一个函数 y2 那，当给定 x 时，输出 x.
当然还有这样的函数，就是恒等函数λx. x。这正是当你应用 rule refl 时 ?y2 被实例化的目标：目标 x = ?y2 x 与 refl ?t = ?t 的结论统一并且你最终得到 ?t = x和 ?y2 = λx. x，并且由于 refl 没有假设，这个决议完成了证明。
我不完全确定你所说的“为什么 refl 中没有考虑它？”是什么意思，但我希望我已经回答了你的问题。
从专家那里得到更完整的答案，但我对你的第二部分给出了简短的回答。
Isabelle 的伟大之处在于它提供了许多不同的方法来证明一个问题。
您的新问题类似于 L.Paulson 对 FOM 的评论：您通过将问题切换为 rule 与 simp 来移动目标 post：
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2015-October/019312.html
对 simp 有一个基本的了解实际上是一个更容易追求的目标，否则我不会在这里添加我的回复。
rule和自然推演
rule 的使用是自然推导 (ND) 的使用，大多数人在 ND 上都跟不上速度。 ND的使用需要理解ND，所以像你的第一个问题这样的问题可能会导致一个不简单的答案，因为任何信息性的东西都不能成为一个线性答案，尤其是由于事情比如原理图变量（你问过的）、分辨率、统一、重写等。
搜索自然演绎法，您会找到关于它的标准维基页面。有很多关于自然演绎的书籍，尽管由于一阶逻辑书籍，它们在 "logic" 上的搜索中被淹没了。一本受欢迎的书是 计算机科学中的逻辑，第 2 本书，作者是 Huth 和 Ryan。
如果你研究 ND，你会发现 exI 符合 ND 规则之一。
我还没有花时间来加快 ND 的速度，因为我一直在进步，但对 ND 的了解并不多。
Sledgehammer 和自动方法 auto、simp、blast、induct、cases 等，以及 Sledgehammer 使用的一些那些，使我无法找到时间以自然的方式变得更好。
答案和 M.Eberl 一样，虽然不是简单的解释，但帮助我在这里吸收一点，那里吸收一点。
Simp，我认为是简单的替换（重写）
simp 背后的机制非常简单，与自然演绎相比。你定义一个公式并证明它：
lemma foo [simp]: "left_hand_side = right_hand_side"
在另一个定理的证明中，当simp这样或那样调用时，或者foo展开时，有left_hand_side的地方被[=26代替了=].这只是经典的数学替换。
我想它也可能是 "rewriting"，但我对重写一无所知，除了他们谈论它。
有很多关于如何以及是否应该自动设置（以防止循环）的细节，比如 [simp] 或 declare foo_def [simp add]，但这只是正常编程的细节.