java 中的欧拉方法

Question

我已经编写了一个欧拉方法代码来找到 x(10) 的近似值并将其与 separable ODE 中给出的精确解给出的 x(10) 的值进行比较。但是，我的代码为 x(10) 显示了一个混沌数。你能确定一个主要错误吗？

谢谢。

 //@(#)euler.java
 //This method attempts to find solutions to dx/dt = (e^t)(sin(x)) via
 //Euler's iterative method and find an approximate value for x(10)


import java.text.DecimalFormat;

public class euler
{
    public static void main(String[] Leonhard)
    {

        DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.0000");


        double h = (1.0/3.0);          // h is the step-size
        double t_0 = 0;                // initial condition
        double x_0 = .3;               // initial condition
        double x_f = 10;               // I want to find x(10) using this method and compare it to an exact value of x(10)
        double[] t_k;
        t_k = new double[ (int)( ( x_f - x_0 ) / h ) + 1 ] ;                 // this two arrays hold the values of x_k and t_k
        double[] x_k;
        x_k = new double[ (int)( ( x_f - x_0 ) / h ) + 1 ] ;

        int i;  // the counter

        System.out.println( "k\t       t_k\t       x_k" ); // table header

        for ( i = 0; k < (int)( ( x_f - x_0 ) / h ) + 1; i++ )
        {
            if ( i == 0 )  // this if statement handles the initial conditions
            {
                t_k[i] = t_0;
                x_k[i] = x_0;
            }
            else if ( i > 0 )
            {
                t_k[i] += i*h;
                x_k[i] = x_k[i-1] + h*( Math.exp(t_k[i-1]))*(Math.sin(x_k[i-1])   );

            }

            System.out.println( k + "      " + df.format(t_k[i])   + "      " +  df.format( x_k[i])  );
        }
    }
}

Answer 1

您的代码似乎有效。问题在于欧拉方法是一种相当简单的微分方程近似积分方法。正如您所注意到的，它的准确性在很大程度上取决于您使用的步长。

我运行你的代码并与相同算法的另一个实现进行了比较。结果在近似值起作用的范围内重叠，并且超出了很长一段时间。它们只有在方法严重崩溃时才会有所不同：

需要注意的是，欧拉方法对于这个特定的微分方程，对于您希望达到的点，效果不是很好。 1/3 的步长太大而无法开始，但即使您选择更小的步长，例如 1/10000，该方法往往会在达到 t=10 之前崩溃。 exp(t)sin(x) 之类的东西很难处理。实解变得平坦，接近 pi，因此 sin(x) 应该趋于零，从而使导数也为零。但是，exp(t) 爆炸了，因此导数在数值上不稳定。

java 中的欧拉方法

Euler's Method in java

java

arrays

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