解释为什么 x == ~(~x + 1) + 1（二进制补码和反向！）

Question

众所周知负数在内存中通常表示为这样的补码

from x to ~x + 1

为了返回，我们不会做像

这样明显的事情

~([~x + 1] - 1)

但我们这样做

~[~x + 1] + 1

有人可以解释为什么它总是有效吗？我想我可以用 1 位、2 位、3 位数字证明它，然后使用数学归纳法，但这并不能帮助我理解它到底是如何工作的。

谢谢！

Answer 1

这是因为如果你递增 ~x（假设没有溢出）。然后将其转换回 x，您相对于 ~x 增加了，但相对于 x 减少了。反之亦然。假设你的变量 x 有一个特定的值，每次你增加它时，相对于 ~x 你会注意到它减少。

从程序员的角度来看，这就是您实际看到的内容。

Let short int x = 1         (0x0001)
then ~x = 65534             (0xFFFE)
~x + 1 =  65534 + 1         (0xFFFF)
~(~x+1) = 0                 (0x0000)
~(~x+1) + 1 = 0 + 1         (0x0001)

Answer 2

反正都是一样的。即~x + 1 == ~(x - 1)。但我们暂时把它放在一边。

f(x) = ~x + 1 是它自己的倒数。证明：

~(~x + 1) + 1 =
(definition of subtraction: a - b = ~(~a + b))
x - 1 + 1 =
(you know this step)
x

此外，~x + 1 == ~(x - 1)。为什么？嗯，

~(x - 1) =
(definition of subtraction: a - b = ~(~a + b))
~(~(~x + 1)) =
(remove double negation)
~x + 1

还有那个（有点不寻常的）减法定义，a - b = ~(~a + b)?

~(~a + b) =
(use definition of two's complement, ~x = -x - 1)
-(~a + b) - 1 =
(move the 1)
-(~a + b + 1) =
(use definition of two's complement, ~x = -x - 1)
-(-a + b) =
(you know this step)
a - b

解释为什么 x == ~(~x + 1) + 1（二进制补码和反向！）

Explain why x == ~(~x + 1) + 1 (two's complement and back!)

binary

proof

twos-complement