使用动态规划实现 Activity 选择概率

Question

如何使用动态规划实现 Activity 选择问题（CLRS 练习 16.1-1）。我已经使用 Greedy Method 实现了它，它以线性时间运行（假设数组已经按完成时间排序）。

我知道它构成了最优子结构。

设 $S_{ij}$ 在 activity $a_i$ 完成后开始的一组活动，并且在 activity $a_j$ 开始之前完成。如果我们表示集合 $S_{ij}$ by $c[i j]$ 的最优解的大小，那么我们将得到递归

$c[i j]  = c[i k] + c[k j] + 1$

Answer 1

我们可以使用动态规划来解决它，方法是保持一个状态，该状态包含有关 activity 的当前索引和 activity 的当前完成时间的详细信息，我们已经采取了，在 activity 的每个索引处，我们可以做出 2 个决定是否选择 activity，最后我们需要取两个选择和递归中的最大值。我已经在 C++ 中实现了递归 dp 解决方案：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int st[1000], en[1000];
int dp[1000][1000];

int solve(int index, int currentFinishTime){
    if(index == n) return 0;
    int v1 = 0, v2 = 0;
    if(dp[index][currentFinishTime] != -1) return dp[index][currentFinishTime];

    //do not choose the current activity
    v1 = solve(index+1, currentFinishTime);

    //try to choose the current activity
    if(st[index] >= currentFinishTime){
        v2 = solve(index+1, en[index]) + 1;
    }
    return dp[index][currentFinishTime] = max(v1, v2);
}

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i++) cin >> st[i] >> en[i];
    memset(dp, -1, sizeof dp);

    cout << solve(0, 0) << endl;
return 0;
}

http://ideone.com/m0mxx2

在此代码中，dp[index][finish time] 是用于存储结果的 dp table。

使用动态规划实现 Activity 选择概率

Implementing Activity Selection Prob using Dynamic Programming

algorithm

recurrence

dynamic-programming

greedy