Chudnovsky 二元分裂和因式分解

Question

在this article中，给出了使用二进制拆分的 Chudnovsky pi 公式的快速递归公式。在 python 中：

C = 640320
C3_OVER_24 = C**3 // 24
def bs(a, b):
    if b - a == 1:
        if a == 0:
            Pab = Qab = 1
        else:
            Pab = (6*a-5)*(2*a-1)*(6*a-1)
            Qab = a*a*a*C3_OVER_24
        Tab = Pab * (13591409 + 545140134*a) # a(a) * p(a)
        if a & 1:
            Tab = -Tab
    else:
        m = (a + b) // 2
        Pam, Qam, Tam = bs(a, m)
        Pmb, Qmb, Tmb = bs(m, b)

        Pab = Pam * Pmb
        Qab = Qam * Qmb
        Tab = Qmb * Tam + Pam * Tmb
    return Pab, Qab, Tab

N = int(digits/DIGITS_PER_TERM + 1)
# Calclate P(0,N) and Q(0,N)
P, Q, T = bs(0, N)
one = 10**digits
sqrtC = sqrt(10005*one, one)
return (Q*426880*sqrtC) // T

这个方法已经非常快了，但是提到了GMP图书馆网站上的一个实现，gmp-chudnovsky.c，也把二元分裂中的分子和分母分解了。由于代码经过优化并且我很难理解，因此完成此操作背后的总体思路是什么？我不知道分数是否被简化，数字是否以因式分解形式而不是完全相乘，或者两者兼而有之。

这是二进制拆分的代码示例：

/* binary splitting */
void
bs(unsigned long a, unsigned long b, unsigned gflag, long int level)
{
  unsigned long i, mid;
  int ccc;

  if (b-a==1) {
    /*
      g(b-1,b) = (6b-5)(2b-1)(6b-1)
      p(b-1,b) = b^3 * C^3 / 24
      q(b-1,b) = (-1)^b*g(b-1,b)*(A+Bb).
    */
    mpz_set_ui(p1, b);
    mpz_mul_ui(p1, p1, b);
    mpz_mul_ui(p1, p1, b);
    mpz_mul_ui(p1, p1, (C/24)*(C/24));
    mpz_mul_ui(p1, p1, C*24);

    mpz_set_ui(g1, 2*b-1);
    mpz_mul_ui(g1, g1, 6*b-1);
    mpz_mul_ui(g1, g1, 6*b-5);

    mpz_set_ui(q1, b);
    mpz_mul_ui(q1, q1, B);
    mpz_add_ui(q1, q1, A);
    mpz_mul   (q1, q1, g1);
    if (b%2)
      mpz_neg(q1, q1);

    i=b;
    while ((i&1)==0) i>>=1;
    fac_set_bp(fp1, i, 3);  /*  b^3 */
    fac_mul_bp(fp1, 3*5*23*29, 3);
    fp1[0].pow[0]--;

    fac_set_bp(fg1, 2*b-1, 1);  /* 2b-1 */
    fac_mul_bp(fg1, 6*b-1, 1);  /* 6b-1 */
    fac_mul_bp(fg1, 6*b-5, 1);  /* 6b-5 */

    if (b>(int)(progress)) {
      printf("."); fflush(stdout);
      progress += percent*2;
    }

  } else {
    /*
      p(a,b) = p(a,m) * p(m,b)
      g(a,b) = g(a,m) * g(m,b)
      q(a,b) = q(a,m) * p(m,b) + q(m,b) * g(a,m)
    */
    mid = a+(b-a)*0.5224;     /* tuning parameter */
    bs(a, mid, 1, level+1);

    top++;
    bs(mid, b, gflag, level+1);
    top--;

    if (level == 0)
      puts ("");

    ccc = level == 0;

    if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;

    if (level>=4) {           /* tuning parameter */
#if 0
      long t = cputime();
#endif
      fac_remove_gcd(p2, fp2, g1, fg1);
#if 0
      gcd_time += cputime()-t;
#endif
    }

    if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
    mpz_mul(p1, p1, p2);

    if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
    mpz_mul(q1, q1, p2);

    if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
    mpz_mul(q2, q2, g1);

    if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
    mpz_add(q1, q1, q2);

    if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
    fac_mul(fp1, fp2);

    if (gflag) {
      mpz_mul(g1, g1, g2);
      fac_mul(fg1, fg2);
    }
  }

  if (out&2) {
    printf("p(%ld,%ld)=",a,b); fac_show(fp1);
    if (gflag)
      printf("g(%ld,%ld)=",a,b); fac_show(fg1);
  }
}

Answer 1

我没有看完整的代码，但我快速浏览了一下，以便更好地理解您在问题中提供的摘录。

为了回答您问题中的一些要点，请先看一下这段代码：

typedef struct {
  unsigned long max_facs;
  unsigned long num_facs;
  unsigned long *fac;
  unsigned long *pow;
} fac_t[1];

它将一个新类型定义为一个结构（如果你根本不知道 C，假设它就像一个基本的 Pyhton 对象嵌入变量但没有方法）。这种类型允许将整数处理为两个整数值和两个数组（比如：两个列表）：

最大因素
因素数量
因素列表
这些因素的（相应）权力列表

同时，代码将 与 libgmp 类型中的大整数保持相同的 数字（这就是 mpz_t p 和 mpz_t g 的意思在函数的参数中）。

现在，你展示的功能怎么样？它被称为fac_remove_gcd；最初的 fac 与前面描述的类型的名称有关；下面两个词很容易理解：将两个fac类型的整数除以它们的gcd.

C 代码迭代两个列表中的两个因子列表；由于因子是有序的（else if 和 else 语句周围的代码部分），因此很容易同步两个列表；每当检测到两个公因数（初始 if 语句）时，除法就是一个简单的减法问题：在该因数的两个幂列表中减去最小的幂（例如，a=2*5^3*17和b=3*5^5*19，在a和b的幂列表中相应的位置减去值3因子 5 导致 a=2*5^0*17 和 b=3*5^2*19).

在此操作期间，创建并调用了一个数字（相同 fac 类型）并调用 fmul；这显然是两个数字的gcd。

在此步骤之后，名为 fmul 且属于 fac 类型的 gcd 被转换为 GMP 大整数，函数（也在程序代码中）称为 bs_mul.这允许将 GCD 计算为一个大整数，以便同步两种形式的除数的新值：大整数和特殊 fac 类型。一旦 GCD 被计算为一个大整数，就很容易将两个初始数字除以 GCD。

因此函数作用于每个初始数字的两个版本。

希望对您有所帮助。

Answer 2

以下评论是关键：

/*
    g(b-1,b) = (6b-5)(2b-1)(6b-1)
    p(b-1,b) = b^3 * C^3 / 24
    q(b-1,b) = (-1)^b*g(b-1,b)*(A+Bb).
*/

/*
    p(a,b) = p(a,m) * p(m,b)
    g(a,b) = g(a,m) * g(m,b)
    q(a,b) = q(a,m) * p(m,b) + q(m,b) * g(a,m)
*/

/*
          p*(C/D)*sqrt(C)
    pi = -----------------
             (q+A*p)
*/

观察：

如果我们在最后的除法中将 p 和 q 都缩放 k，这不会影响结果。
在计算对应于第二组评论的合并操作时，如果我们将 p(a,m)、g(a,m) 和 q(a,m) 中的每一个缩放为 k那么该因素将简单地传递到 p(a,b)、g(a,b)、q(a,b)；类似地，如果我们要对 p(m,b)、g(m,b) 和 q(m,b) 中的每一个进行缩放，那么该因子将继续存在。
行
```
fac_remove_gcd(p2, fp2, g1, fg1);
```
有效
```
k = gcd(p2, g1);
p2 /= k; // p(m,b) /= k
g1 /= k; // g(a,m) /= k
```
这具有将 p(a,b)、g(a,b) 和 q(a,b) 缩小 gcd 的净效应。根据前两次观察，这种降尺度一直干净利落地得到最终结果。

后记

我已经尝试了三种实现 Python 中因式分解的方法。

使用不可变列表跟踪因式分解会极大地减慢速度，因为维护列表的工作太忙了。
使用 gmpy 的 gcd 不会加速
预先计算一个最多 6 * N 的素数列表（即可能整除 g）并测试每个素数会使速度减慢 2 到 3 倍。

我的结论是，通过这种方法获得加速需要使用可变状态来跟踪因式分解，因此这对可维护性来说是一个很大的打击。

Chudnovsky 二元分裂和因式分解

Chudnovsky binary splitting and factoring

c

recursion

gmp

pi

factoring

后记