将任意精度有理数（OCaml、zarith）转换为近似浮点数

Question

我正在使用 Zarith 库进行任意精度的有理算术。假设我有一个 Q.t 类型的有理数 q，它是两个大整数的比率（Q 是 Zarith 的任意精度有理数模块）。有时，为了便于阅读，我想将此数字打印为浮点数，有时我需要将此数字转换为浮点数，以便以后进行非任意精度计算。有没有办法将 q 转换为达到一定精度的浮点数？

我将 q 转换为浮点数的方式现在没有任何保证，并且可以创建未定义的浮点数（Z 是任意精度整数模块）：

let to_float q =
  let n, d = num q, den q in
  (* check if d is zero and raise an error if it is *)
  let nf, df = Z.to_float n, Z.to_float d in
  nf /. df

有没有更好的方法来处理这个问题，我可以获得一个最准确地近似任何 q 的浮点数？

编辑

如果有人感兴趣的话，我很快就用 OCaml 写下了 Mark Dickinson 的回答。它可能（肯定）可以得到改进和清理。如果我这样做或者有人有任何改进建议，我会进行编辑。但现在这已经解决了我的问题！

let to_float q = 
  let n, d = num q, den q in
  let n_sign = Z.sign n in
  let d_sign = Z.sign d in (* always >= 0 *)
  if d_sign = 0 then raise Division_by_zero;
  let n = Z.abs n in
  if n_sign = 0 then 0. else
    let shift = (Z.numbits n) - (Z.numbits d) - 55 in
    let is_subnormal = shift < -1076 in
    let shift = if is_subnormal then -1076 else shift in
    let d = if shift >= 0 then Z.shift_left d shift else d in
    let n = if shift < 0 then Z.shift_left n (-shift)
      else n in
    let quotient, remainder = Z.div_rem n d in
    let quotient = if (Z.compare remainder (Z.zero)) = 0 && Z.is_even quotient then
        Z.add Z.one quotient else quotient in
    let quotient = if not is_subnormal then quotient else
        let round_select = Z.to_int @@ Z.rem quotient @@ Z.of_int 8 in
        Z.add quotient [|Z.zero;Z.minus_one;Z.of_int (-2);Z.one;Z.zero
                        ;Z.minus_one;Z.of_int 2;Z.one|].(round_select)
    in
    let unsigned_res = ldexp (Z.to_float quotient) shift in                                                                                                             
    if n_sign = 1 then unsigned_res else -.unsigned_res

我会考虑为 GMP 编写一个界面 mpq_get_d function later, but I'm not entirely sure how to do that. The only way I see how to do that is to convert q : Q.t to a string and pass that to:

int mpq_set_str (mpq_t rop, const char *str, int base)

有人知道如何在 OCaml 中将 rop 传递给 mpq_get_d 或者有描述如何执行此操作的参考吗？我翻了一下chapter 19 of RWO，没有看到这样的情况。

Answer 1

这不是一个完整的答案，但环顾四周，我发现 Zarith 在内部使用 GMP。有一个名为 mpq_get_d 的 GMP 函数可将有理数转换为双精度数。如果它不能直接在 Zarith 中使用，应该可以（给一些时间）为它添加一个接口。

Answer 2

如果您有权访问

整数log2运算，
将整数左移给定位数的能力

然后进行您自己的正确舍入转换相对容易。简而言之，该方法如下所示：

减少到n > 0、d > 0的大小写；过滤掉明显的 underflow/overflow
选择一个整数 shift，使 2^-shift*n/d 介于 2^54 和 2^56 之间。
使用整数算法计算 x = 2^-shift*n/d，使用 round-to-odd 舍入方法舍入到最接近的整数。
将 x 转换为最接近的 IEEE 754 双精度值 dx，使用通常的舍入到偶数舍入模式。
Return ldexp(dx, shift).

恐怕我对 OCaml 不是很流利，但下面的 Python 代码说明了正输入的想法。我留给你对负输入和除以零进行明显的修改。您可能还想为极端上溢和下溢的情况尽早设置 return：通过在下方查找 shift 的超大或超小值，可以很容易地检测到这些情况。

from math import ldexp

def to_float(numerator, denominator):
    """
    Convert numerator / denominator to float, correctly rounded.

    For simplicity, assume both inputs are positive.
    """
    # Shift satisfies 2**54 < (numerator / denominator) / 2**shift < 2**56
    shift = numerator.bit_length() - denominator.bit_length() - 55

    # Divide the fraction by 2**shift.
    if shift >= 0:
        denominator <<= shift
    else:
        numerator <<= -shift

    # Convert to the nearest integer, using round-to-odd.
    q, r = divmod(numerator, denominator)
    if r != 0 and q % 2 == 0:
        q += 1

    # Now convert to the nearest float and shift back.
    return ldexp(float(q), shift)

一些注意事项：

正整数 n 上的 bit_length 方法给出了表示 n 所需的位数，换句话说 1 + floor(log2(n)).
divmod是一个Python函数，它同时计算整数除法的商和余数。
数量 q（很容易）适合 64 位整数
我们四舍五入：一次是将移位后的 numerator / denominator 转换为最接近的整数，另一次是将该整数四舍五入为浮点数。第一轮使用round-to-odd方式；这确保了第二轮（隐含在从 int 到 float 的转换中）给出的结果与我们将分数直接舍入为 float 的结果相同。
上述算法无法正确处理转换后的浮点值低于正规值的分数：在这种情况下，ldexp 运算可能会引入 third 舍入。可以小心处理这个问题。请参阅下面的一些代码。

以上实际上是 Python 在将一个（大）整数除以另一个以获得浮点结果时使用的算法的简化版本。可以看到来源here。 long_true_divide 函数开头的注释给出了该方法的概述。

为了完整起见，这里有一个变体也可以正确处理次正常结果。

def to_float(numerator, denominator):
    """
    Convert numerator / denominator to float, correctly rounded.

    For simplicity, assume both inputs are positive.
    """
    # Choose shift so that 2**54 < numerator / denominator / 2**shift < 2**56
    shift = numerator.bit_length() - denominator.bit_length() - 55

    # The 'treat_as_subnormal' flag catches all cases of subnormal results,
    # along with some cases where the result is not subnormal but *is* still
    # smaller than 2**-1021. In all these cases, it's sufficient to find the
    # closest integer multiple of 2**-1074. We first round to the nearest
    # multiple of 2**-1076 using round-to-odd.
    treat_as_subnormal = shift < -1076
    if treat_as_subnormal:
        shift = -1076

    # Divide the fraction by 2**shift.
    if shift >= 0:
        denominator <<= shift
    else:
        numerator <<= -shift

    # Convert to the nearest integer, using round-to-odd.
    q, r = divmod(numerator, denominator)
    if r != 0 and q % 2 == 0:
        q += 1

    # Now convert to the nearest float and shift back.
    if treat_as_subnormal:
        # Round to the nearest multiple of 4, rounding ties to
        # the nearest multiple of 8. This avoids double rounding
        # from the ldexp call below.
        q += [0, -1, -2, 1, 0, -1, 2, 1][q%8]

    return ldexp(float(q), shift)

将任意精度有理数（OCaml、zarith）转换为近似浮点数

Converting an arbitrary-precision rational number (OCaml, zarith) to an approximate floating number

floating-point

ocaml

rational-number

arbitrary-precision