Natural Join 对 Union 有分配性吗？

Question

给定三个关系 R、S 和 T，是否为真：

R ⋈ (S U T) = (R ⋈ S) U (R ⋈ T)

如果是，我们可以证明吗？

Answer 1

是的。

假设我们有 3 个关系 R、S、T。

首先你要知道S和T必须是union compatible才能进行union运算，也就是说两个关系有相同的域

证明左 -> 右：

假设行r属于左操作集。然后，对于那些最初来自 S 或 T 的值，它们必须出现在关系 S 或 T 中。不失一般性，假设它们来自 S。那么，行 r 属于 R ⋈ S.

证明右 -> 左：

假设行r'属于右操作集。那么，r要么属于 R ⋈ S 或 R ⋈ T.

不失一般性，假设r属于R ⋈ S。那么，对于那些最初来自S的值，它也属于S U T中的一行。

因此，r'属于R ⋈ (S U T) .

因此，命题正确。

Answer 2

在 Set 语义下，如 Tipton 的回答所示，这成立，但在 bag 语义下，正如 SQL 使用的那样，它不成立。考虑反例：

    > create table R(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 5 msec.
    > create table S(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > create table T(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 2 msec.
    > insert into R values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > insert into R values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 0 msec.
    > insert into S values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > insert into T values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > select * from (select * from R JOIN (select * from S UNION select * from T) u ON R.A=u.A);
    a|a
    a|a
    --- [0|Column names ---
    [1|A [2|A:1 
    Query executed and displayed **2 rows** in 0 min. 0 sec 11 msec.
    > select * from R JOIN S ON R.A=S.A UNION select * from R JOIN T ON R.A=T.A;
    a|a
    --- [0|Column names ---
    [1|A [2|A 
    Query executed and displayed **1 row** in 0 min. 0 sec 20 msec.

Natural Join 对 Union 有分配性吗？

Is Natural Join distributive over Union?

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