张量流中的矩阵行列式微分

Question

我对使用 TensorFlow 计算矩阵行列式的导数很感兴趣。实验可以看出TensorFlow并没有实现通过行列式求微分的方法：

LookupError: No gradient defined for operation 'MatrixDeterminant' 
(op type: MatrixDeterminant)

进一步调查表明，实际上可以计算导数；例如参见 [=13=]。我确定，为了实现这种通过行列式进行区分的方法，我需要使用函数装饰器，

@tf.RegisterGradient("MatrixDeterminant")
def _sub_grad(op, grad):
    ...

但是，我对张量流不够熟悉，无法理解这是如何实现的。有没有人对此事有任何见解？

这是我运行处理此问题的示例：

x = tf.Variable(tf.ones(shape=[1]))
y = tf.Variable(tf.ones(shape=[1]))

A = tf.reshape(
    tf.pack([tf.sin(x), tf.zeros([1, ]), tf.zeros([1, ]), tf.cos(y)]), (2,2)
)
loss = tf.square(tf.matrix_determinant(A))


optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.001)
train = optimizer.minimize(loss)

init = tf.initialize_all_variables()
sess = tf.Session()
sess.run(init)


for step in xrange(100):
    sess.run(train)
    print sess.run(x)

Answer 1

我认为您对什么是矩阵行列式的导数感到困惑。

矩阵行列式是通过某种公式计算矩阵元素的函数。因此，如果矩阵的所有元素都是数字，那么行列式将只有一个数字，导数将为 0。当一些元素是变量时，你会得到这些变量的表达式。例如：

x, x^2
1, sin(x)

行列式为 x*sin(x) - x^2，导数为 2x + sin(x) + x*cos(x)。雅可比公式只是将行列式与辅助矩阵连接起来。

在您的示例中，您的矩阵 A 仅包含数字，因此行列式只是一个数字，而 loss 也只是一个数字。 GradientDescentOptimizer 需要一些自由变量来最小化，但没有，因为你的 loss 只是一个数字。

Answer 2

对于那些感兴趣的人，我发现了解决我的问题的方法：

@tf.RegisterGradient("MatrixDeterminant")
def _MatrixDeterminant(op, grad):
    """Gradient for MatrixDeterminant."""
    return op.outputs[0] * tf.transpose(tf.matrix_inverse(op.inputs[0]))

Answer 3

请检查 "Implement Gradient in Python" 部分 here

具体可以如下实现

@ops.RegisterGradient("MatrixDeterminant")
def _MatrixDeterminantGrad(op, grad):
  """Gradient for MatrixDeterminant. Use formula from 2.2.4 from
  An extended collection of matrix derivative results for forward and reverse
  mode algorithmic differentiation by Mike Giles
  -- http://eprints.maths.ox.ac.uk/1079/1/NA-08-01.pdf
"""
  A = op.inputs[0]
  C = op.outputs[0]
  Ainv = tf.matrix_inverse(A)
  return grad*C*tf.transpose(Ainv)

然后一个简单的训练循环来检查它是否有效：

a0 = np.array([[1,2],[3,4]]).astype(np.float32)
a = tf.Variable(a0)
b = tf.square(tf.matrix_determinant(a))
init_op = tf.initialize_all_variables()
sess = tf.InteractiveSession()
init_op.run()

minimization_steps = 50
learning_rate = 0.001
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate)
train_op = optimizer.minimize(b)

losses = []
for i in range(minimization_steps):
  train_op.run()
  losses.append(b.eval())

然后您可以想象随着时间的推移您的损失

import matplotlib.pyplot as plt

plt.ylabel("Determinant Squared")
plt.xlabel("Iterations")
plt.plot(losses)

应该看到这样的东西

张量流中的矩阵行列式微分

matrix determinant differentiation in tensorflow

python

determinants

tensorflow