二维傅里叶变换实现中的错误

Question

我正在尝试在 Matlab 中结合使用一维 DFT 来实现二维 DFT。将我的结果与 Matlab 的内置函数 (fft2) 进行比较时，我意识到我有以下问题：

虚部的符号正在反转。即+改为-，反之亦然。
除第一行外，所有行均按降序排列。

这张图片显示了两个结果之间的比较。旁边的红色数字表示重新排序问题。

我的代码如下：

x = imread('img.png');
x = double(x);
x = x(1:12,1:5)

% FFT
Xw = complex(zeros(size(x)));
for row = 1:size(x,1)
    Xw(row,:) = fft(x(row,:));
end

for col = 1:size(x,2)
    Xw(:,col) = fft(Xw(:,col)');
end

有人可以指出我的问题在哪里吗？谢谢

Answer 1

'运算符是针对complex转置的，也就是说矩阵被转置，conjugate值被采用。这意味着复数的符号是相反的。对于实数，您不会注意到这一点，因为从技术上讲，虚部为零。

您想使用 .' 来保留虚部的符号，因为每行执行中间 FFT 将产生复数。只使用 ' 会改变中间结果的虚部，这会给你错误的结果：

for col = 1:size(x,2)
    Xw(:,col) = fft(Xw(:,col).');
end

顺便提一下，根本不需要转置结果的中间列。如果您提供单个向量，fft 将沿着第一个非单一维度运行，因此使用转置是多余的。如果您根本不转置结果，它实际上会有所帮助：

for col = 1:size(x,2)
    Xw(:,col) = fft(Xw(:,col));
end

这是一个例子。我生成了一个随机的 10 x 10 矩阵：

rng(123);
x = rand(10);

使用您的代码更正转置（并且开头没有索引），我们得到：

>> Xw

Xw =

  Columns 1 through 5

  50.1429 + 0.0000i  -0.4266 - 0.2624i   0.8803 + 0.9311i  -0.0526 + 1.7067i   0.7187 + 0.7161i
   0.5066 - 2.4421i   2.7551 - 1.7421i  -1.9994 + 0.6052i   0.2891 + 3.4182i   0.5300 + 2.4417i
   0.1956 + 0.1790i   4.1461 + 1.9648i  -1.3781 - 1.0303i  -0.6872 - 1.0103i  -1.2184 - 0.5783i
  -0.3645 - 1.6193i  -1.8470 - 1.3445i   4.1555 + 0.7432i   2.3707 + 3.8265i  -1.9526 + 1.9464i
  -3.1136 - 0.3704i   2.4132 - 1.0795i  -0.2255 + 1.3062i   0.8436 - 0.5157i  -0.3493 - 0.9994i
  -1.5962 + 0.0000i  -0.3780 - 1.4055i   1.6242 - 0.4842i   0.4457 + 0.4718i  -0.1794 - 2.0014i
  -3.1136 + 0.3704i   0.0134 + 0.1267i   1.0630 + 1.4563i  -0.8864 - 0.3174i  -0.5720 + 1.3041i
  -0.3645 + 1.6193i   0.7028 + 0.2797i   0.1064 + 2.0705i   2.1644 + 0.1685i   0.3095 + 0.7426i
   0.1956 - 0.1790i   2.3511 + 2.1440i   0.7301 - 0.8264i  -1.1974 - 0.3794i  -2.4981 + 1.2363i
   0.5066 + 2.4421i  -3.5897 + 0.7444i   1.2191 - 3.6386i  -2.9659 - 1.6626i  -2.0339 + 0.0880i

  Columns 6 through 10

   2.0373 + 0.0000i   0.7187 - 0.7161i  -0.0526 - 1.7067i   0.8803 - 0.9311i  -0.4266 + 0.2624i
  -1.8782 - 0.9047i  -2.0339 - 0.0880i  -2.9659 + 1.6626i   1.2191 + 3.6386i  -3.5897 - 0.7444i
   2.3752 + 1.8811i  -2.4981 - 1.2363i  -1.1974 + 0.3794i   0.7301 + 0.8264i   2.3511 - 2.1440i
   4.5213 + 0.9237i   0.3095 - 0.7426i   2.1644 - 0.1685i   0.1064 - 2.0705i   0.7028 - 0.2797i
  -1.2259 + 2.1690i  -0.5720 - 1.3041i  -0.8864 + 0.3174i   1.0630 - 1.4563i   0.0134 - 0.1267i
   6.2411 + 0.0000i  -0.1794 + 2.0014i   0.4457 - 0.4718i   1.6242 + 0.4842i  -0.3780 + 1.4055i
  -1.2259 - 2.1690i  -0.3493 + 0.9994i   0.8436 + 0.5157i  -0.2255 - 1.3062i   2.4132 + 1.0795i
   4.5213 - 0.9237i  -1.9526 - 1.9464i   2.3707 - 3.8265i   4.1555 - 0.7432i  -1.8470 + 1.3445i
   2.3752 - 1.8811i  -1.2184 + 0.5783i  -0.6872 + 1.0103i  -1.3781 + 1.0303i   4.1461 - 1.9648i
  -1.8782 + 0.9047i   0.5300 - 2.4417i   0.2891 - 3.4182i  -1.9994 - 0.6052i   2.7551 + 1.7421i

我还验证了无需转置即可工作。您将获得与执行 .' 相同的结果。现在，使用 fft2，我们得到：

>> Xw2 = fft2(x)

Xw2 =

  Columns 1 through 5

  50.1429 + 0.0000i  -0.4266 - 0.2624i   0.8803 + 0.9311i  -0.0526 + 1.7067i   0.7187 + 0.7161i
   0.5066 - 2.4421i   2.7551 - 1.7421i  -1.9994 + 0.6052i   0.2891 + 3.4182i   0.5300 + 2.4417i
   0.1956 + 0.1790i   4.1461 + 1.9648i  -1.3781 - 1.0303i  -0.6872 - 1.0103i  -1.2184 - 0.5783i
  -0.3645 - 1.6193i  -1.8470 - 1.3445i   4.1555 + 0.7432i   2.3707 + 3.8265i  -1.9526 + 1.9464i
  -3.1136 - 0.3704i   2.4132 - 1.0795i  -0.2255 + 1.3062i   0.8436 - 0.5157i  -0.3493 - 0.9994i
  -1.5962 + 0.0000i  -0.3780 - 1.4055i   1.6242 - 0.4842i   0.4457 + 0.4718i  -0.1794 - 2.0014i
  -3.1136 + 0.3704i   0.0134 + 0.1267i   1.0630 + 1.4563i  -0.8864 - 0.3174i  -0.5720 + 1.3041i
  -0.3645 + 1.6193i   0.7028 + 0.2797i   0.1064 + 2.0705i   2.1644 + 0.1685i   0.3095 + 0.7426i
   0.1956 - 0.1790i   2.3511 + 2.1440i   0.7301 - 0.8264i  -1.1974 - 0.3794i  -2.4981 + 1.2363i
   0.5066 + 2.4421i  -3.5897 + 0.7444i   1.2191 - 3.6386i  -2.9659 - 1.6626i  -2.0339 + 0.0880i

  Columns 6 through 10

   2.0373 + 0.0000i   0.7187 - 0.7161i  -0.0526 - 1.7067i   0.8803 - 0.9311i  -0.4266 + 0.2624i
  -1.8782 - 0.9047i  -2.0339 - 0.0880i  -2.9659 + 1.6626i   1.2191 + 3.6386i  -3.5897 - 0.7444i
   2.3752 + 1.8811i  -2.4981 - 1.2363i  -1.1974 + 0.3794i   0.7301 + 0.8264i   2.3511 - 2.1440i
   4.5213 + 0.9237i   0.3095 - 0.7426i   2.1644 - 0.1685i   0.1064 - 2.0705i   0.7028 - 0.2797i
  -1.2259 + 2.1690i  -0.5720 - 1.3041i  -0.8864 + 0.3174i   1.0630 - 1.4563i   0.0134 - 0.1267i
   6.2411 + 0.0000i  -0.1794 + 2.0014i   0.4457 - 0.4718i   1.6242 + 0.4842i  -0.3780 + 1.4055i
  -1.2259 - 2.1690i  -0.3493 + 0.9994i   0.8436 + 0.5157i  -0.2255 - 1.3062i   2.4132 + 1.0795i
   4.5213 - 0.9237i  -1.9526 - 1.9464i   2.3707 - 3.8265i   4.1555 - 0.7432i  -1.8470 + 1.3445i
   2.3752 - 1.8811i  -1.2184 + 0.5783i  -0.6872 + 1.0103i  -1.3781 + 1.0303i   4.1461 - 1.9648i
  -1.8782 + 0.9047i   0.5300 - 2.4417i   0.2891 - 3.4182i  -1.9994 - 0.6052i   2.7551 + 1.7421i

我们可以通过确保两个矩阵之间的所有元素差异都小于一个小阈值来证明这两个矩阵相等...比如 1e-10:

>> all(abs(Xw(:)-Xw2(:)) <= 1e-10) 

ans =

     1

带走消息

切勿使用 ' 进行转置....永远。 Luis Mendo 是这一事实的坚定拥护者。

二维傅里叶变换实现中的错误

Bug in 2D Fourier Transform implementation

matlab

2d

fft

dft

带走消息