如何在不放大舍入误差的情况下将 fortran 中的 nxn 矩阵 A 乘以 x 次以获得它的幂？
How can I multiply an nxn matrix A in fortran x times to get its power without amplifying rounding errors?
如何在不放大舍入误差的情况下将 Fortran 中的 NxN 矩阵 A 乘以 x 次以获得其幂？
如果A可以对角化为
A P = P D,
其中P是一些NxN矩阵（每列称为'eigenvector'），D是一个NxN对角矩阵（对角元素称为'eigenvalues'） , 那么
A = P D P^{-1},
其中 P^{-1} 是 P 的逆矩阵。因此 A 的二次方结果是
A A= P D P^{-1} P D P^{-1} = P D D P^{-1}.
重复 A 乘法 x 次得到
A^x = P D^x P^{-1}.
这里注意D^x仍然是对角矩阵。设 D 的第 i 个对角元素为 D_{ii}。那么，D^x 的第 i 个对角线元素是
[D^x]_{ii} = (D_{ii})^x。
也就是说，D^x 的元素只是 D 的元素的 x 次方，并且可以在没有太多舍入误差的情况下计算，我猜。现在，你将P和P^{-1}分别从左边和右边乘以这个D^x得到A^x。 A^x中的误差取决于P和P^{-1}的误差，可以通过LAPACK等数值包中的一些子程序计算得到。
正如 norio 在回答中提到的那样，一般可以采用 Jordan（或 Schur）分解并以类似的方式进行 - 有关详细信息（包括简要错误分析），请参见 Matrix 的第 11 章Golub 和 Loan 的计算。
如何在不放大舍入误差的情况下将 Fortran 中的 NxN 矩阵 A 乘以 x 次以获得其幂？
如果A可以对角化为
A P = P D,
其中P是一些NxN矩阵（每列称为'eigenvector'），D是一个NxN对角矩阵（对角元素称为'eigenvalues'） , 那么
A = P D P^{-1},
其中 P^{-1} 是 P 的逆矩阵。因此 A 的二次方结果是
A A= P D P^{-1} P D P^{-1} = P D D P^{-1}.
重复 A 乘法 x 次得到
A^x = P D^x P^{-1}.
这里注意D^x仍然是对角矩阵。设 D 的第 i 个对角元素为 D_{ii}。那么，D^x 的第 i 个对角线元素是
[D^x]_{ii} = (D_{ii})^x。
也就是说，D^x 的元素只是 D 的元素的 x 次方，并且可以在没有太多舍入误差的情况下计算，我猜。现在，你将P和P^{-1}分别从左边和右边乘以这个D^x得到A^x。 A^x中的误差取决于P和P^{-1}的误差，可以通过LAPACK等数值包中的一些子程序计算得到。
正如 norio 在回答中提到的那样，一般可以采用 Jordan（或 Schur）分解并以类似的方式进行 - 有关详细信息（包括简要错误分析），请参见 Matrix 的第 11 章Golub 和 Loan 的计算。