Coq证明策略

Question

我是 Coq 证明系统的初学者（大约 4 天）。我已经很努力了，但我无法证明以下内容。

forall a b c : nat, S (S (a + b)) = S (S (a + c)) -> b = c.

据我所知，我们需要证明+的双射性，这样我们才能以某种方式使用f(b) = f(c) -> b = c。我该怎么做？

Answer 1

使用 SearchAbout plus 或 SearchPattern (_ + _ = _ + _ -> _) 您可以检查有关 + 的可用引理。但是，如果您没有导入正确的模块，那将毫无用处。我通常做的是去看在线文档。 Here is the documentation for plus 并且您可以特别查看 plus_reg_l 和 plus_reg_r。

Answer 2

正如 Vinz 的回答中指出的那样，您可以直接在 Coq 标准库中找到关于 plus 的双射定理。您也可以直接使用原始策略和数学归纳法在 a 上证明它，如下所示。

Theorem plus_l_bij: forall a b c : nat, a + b = a + c -> b = c.
Proof.
induction a as [|a'].
  intros b c H. apply H.
  intros b c H. simpl plus in H. inversion H. apply IHa' in H1. apply H1.
Qed.

在 induction a 之后，基本情况 a = 0 是微不足道的。

第二种情况的证明a = S a'，重新排列

S a' + b = S a' + c

到

S (a' + b) = S (a' + c)

然后使用其双射性删除构造函数 S。最后，可以应用归纳假设来完成证明。

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Coq proof tactics

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