递归求二阶导数

Question

我正在尝试用 C 语言编写一个程序，该程序计算给定 x 的 f(x) 的二阶导数的数值。当我使用我的函数求一阶导数时，一切似乎都正常，但递归二阶导数部分总是给我 0.0。这是我的函数：

double derivative(double (*f)(double), double x0, int order) {
    if(order == 1){
        const double delta = 1.0e-6;
        double x1 = x0-delta;
        double x2 = x0+delta;
        double y1 = f(x1);
        double y2 = f(x2);

        return (y2 - y1) / (x2 - x1);
    } else if(order == 2) {
        const double delta = 1.0e-6;
        double x1 = derivative(f, x0, 1)-delta;
        double x2 = derivative(f, x0, 1)+delta;
        double y1 = derivative(f, f(x1), 1)-delta;
        double y2 = derivative(f, f(x2), 1)+delta;

        return (y2 - y1) / (x2 - x1);
    } else {
        printf("order too high error \n");
        return 0;
    }
}

我明白为什么它不能按预期工作 -- 在这里我试图通过基于函数 f 和 f'(x) 的值推导来找到 f 的二阶导数。但是我已经为此工作了几个小时，但我想不出一个合适的算法来做到这一点。

如有任何帮助，我们将不胜感激。提前致谢！

Answer 1

我将您的代码更改为以下代码，它按预期工作。

double derivative(double (*f)(double), double x0, int order)
{
         const double delta = 1.0e-6;
         if (order == 1) {
                  double x1 = x0 - delta;
                  double x2 = x0 + delta;
                  double y1 = f(x1);
                  double y2 = f(x2);

                  return (y2 - y1) / (x2 - x1);
          } else if(order == 2) {
                  double x1 = x0 - delta;
                  double x2 = x0 + delta;
                  double y1 = derivative(f, x1, 1);
                  double y2 = derivative(f, x2, 1);

                  return (y2 - y1) / (x2 - x1);
          } else {
                  printf("order too high error \n");
                  return 0;
          }
  }

Answer 2

我会这样实现：

double derivative(double (*f)(double), double x0, int order)
{
         const double delta = 1.0e-6;
         double x1 = x0 - delta;
         double x2 = x0 + delta;
         if (order == 1) {
                  double y1 = f(x1);
                  double y2 = f(x2);

                  return (y2 - y1) / (x2 - x1);
          } else {
                  double y1 = derivative(f, x1, order - 1);
                  double y2 = derivative(f, x2, order - 1);

                  return (y2 - y1) / (x2 - x1);
          }
 }

因为那样就不需要 "order too high error".

Answer 3

Parham Alvani 已经回答了您的问题并指出了您函数中的逻辑错误。所以这不是一个真正的答案，只是一些额外的评论。

您可以使函数完全递归而不单独处理除基本情况之外的任何情况：

double derivative(double (*f)(double), double x, int order)
{
    const double eps = 1.0e-3;

    if (order == 0) return f(x);

    double y1 = derivative(f, x - eps, order - 1);
    double y2 = derivative(f, x + eps, order - 1);

    return (y2 - y1) / (2 * eps);
}

对于高阶导数，您最终会多次计算相同的函数值，因此您可以预先递归地计算导数并对关系进行硬编码：

  Δf(x) / Δx = (f(x + ε) - f(x - ε)) / (2·ε)
Δ²f(x) / Δx² = (f(x + 2·ε) - 2·f(x) + f(x - 2·ε)) / (4·ε²)
Δ³f(x) / Δx³ = (f(x + 3·ε) - 3·f(x + ε) + 3·f(x - ε) - f(x - 3·ε)) / (8·ε³)

等等。然而，对于高阶导数，选择 ε 值会变得棘手。选得太小会在求值函数值相差较小时产生误差

递归求二阶导数

Recursively find the second derivative

c

math

recursion

calculus

derivative