我将如何计算照明波的法线？

Question

我正在使用 DirectX11 对平面进行顶点操作，对于我的照明（具有镜面反射的多点光源），我需要重新计算每个顶点的法线。

我的问题本质上是我将使用什么方程来获得此波动方程（在 HLSL 中）的法线 (x & y)：

input.position.y = height * sin(input.position.x + time) * sin(input.position.y + time);

Answer 1

您需要计算曲面沿 x 轴和 y 轴的切线。您可以在顶点着色器中的每个顶点执行此操作。顶点的法线是该顶点处的切向量的叉积。

为了得到切线，您需要计算方程的导数。您的等式的形式为：

f(x,y) = a*sin(b*x+t)*sin(c*y+t)

其中 a 是波的振幅（或高度），b 和 c 是波长或周期，t 是波的相位。该函数的偏导数为：

df/dx = a*b*cos(b*x+t)*sin(c*y+t) // tangent equation along x-axis
df/dy = a*c*sin(b*x+t)*cos(c*y+t) // tangent equation along y-axis

你的情况 a=height，b=c=1。切向量是：

tx = [x, y, df/dx] // tangent vector along x-axis at point (x,y)
ty = [x, y, df/dy] // tangent vector along y-axis at point (x,y)

最后，要计算法线，请取切向量的叉积：

n = cross(tx,ty)

注意叉积的顺序很重要。如果您调换顺序，则结果将是 -n。评估我们得到的叉积：

n = [y*((df/dy)-(df/dx)), x*((df/dx)-(df/dy)), 0]

在上面的向量中替换 df/dx 和 df/dy：

k = (a*c*sin(b*x+t)*cos(c*y+t) - a*b*cos(b*x+t)*sin(c*y+t))
n = [y*k, x*(-k), 0]

因此，对于您的等式，我们得到：

k = height*(sin(x+t)*cos(y+t) - cos(x+t)*sin(y+t))
n = [y*k, -x*k, 0]

在每个顶点，当您输入 x 和 y 坐标时，您将获得法向量。由于我的微积分生锈了，我可能在推导中犯了一些错误。但它应该是这样的。

How would I calculate the normals of a wave for lighting?