SOP 中的布尔表达式

Question

我是布尔表达式的新手。

我的任务是简化 F(w,x,y,z) = xy’ + x’z’ + wxz + wx’y使用K图

我已经做到了，结果是wx’+w’y’+xyz。

现在我必须"Write it in a standard SOP form. You need to provide the steps through which you get the standard SOP"。

而且我不知道该怎么做。我以为k图后的结果是sop。

Answer 1

是的，您已经有了 SOP 表格。但第二个问题是关于标准（又名规范）SOP 形式。这比必须使用 K-maps 更容易找到（但它通常很长），它只是最小项的总和。

Answer 2

我认为您的解决方案并未涵盖所有。这些卡诺图显示了原始表达式、简化版本（最小 SOP）和规范 SOP，其中每个产品都包含所有文字（所有给定变量或其否定）。

原表达式为

F(w,x,y,z) = x·¬y + ¬x·¬z + w·x·z + w·¬x·y

– 相应的（第一个）K-map中圈出了两个fours和两个pair

使用K-map简化的原始表达式（如第二张所示）：

F(w,x,y,z) = x·¬y + ¬x·¬z + w·y·z

和你的不一样，不过你可以用wolframalpha在线工具查一下，是简化后的原始表达式。

也是最小DNF，但不是最小项之和（输出等于1），因为不是每一个和的乘积都有变量。

第三张K图圈出十个最小项。它们构成了规范的 DNF：

F(w,x,y,z) = m0 + m2 + m4 + m5 + m8 + m10 + m11 + m12 + m13 + m15 =
           = ¬w·¬x·¬y·¬z + ¬w·¬x·y·¬z + ¬w·x·¬y·¬z + ¬w·x·¬y·z + w·¬x·¬y·¬z 
             + w·¬x·y·¬z + w·¬x·y·z + w·x·¬y·¬z + w·x·¬y·z + w·x·y·z

我检查了你的简化表达式，但并没有涵盖所有（即使有一些有用的不关心状态（标有 X))。也许你打错了。还是原文有错别字？

Answer 3

我们可以在python中对4个变量实现K-Map算法，如下图。该函数接受 SOP（乘积总和）形式的布尔函数和变量名称以及 returns 简化的简化表示。基本上，您需要创建矩形组，其中包含总项的 2 次幂，例如 8、4、2，并尝试在一个组中覆盖尽可能多的元素（我们需要覆盖所有元素）。

例如函数F(w,x,y,z) = xy' + x'z' + wxz + wx'y 在SOP形式下可以表示为f(w,x,y,z )=∑(0,2,4,5,8,10,11,12,13,15),从下面可以看出table:

从下一个代码片段的输出可以看出，程序输出了简化形式x¬y + ¬x¬z + wyz，其中布尔变量x的否定表示为¬x代码。

from collections import defaultdict
from itertools import permutations, product
    
def kv_map(sop, vars):
    
    sop = set(sop)
    not_covered = sop.copy()
    sop_covered = set([])
    
    mts = [] # minterms
    
    # check for minterms with 1 variable
    all_3 = [''.join(x) for x in product('01', repeat=3)]
    for i in range(4):
        for v_i in [0,1]:
                if len(not_covered) == 0: continue
                mt = ('' if v_i else '¬') + vars[i]
                s = [x[:i]+str(v_i)+x[i:] for x in all_3]
                sop1 = set(map(lambda x: int(x,2), s))
                if len(sop1 & sop) == 8 and len(sop_covered & sop1) < 8: # if not already covered
                    mts.append(mt)
                    sop_covered |= sop1
                    not_covered = not_covered - sop1
        if len(not_covered) == 0:
           return mts
    
    # check for minterms with 2 variables
    all_2 = [''.join(x) for x in product('01', repeat=2)]
    for i in range(4):
        for j in range(i+1, 4):
            for v_i in [0,1]:
                for v_j in [0,1]:
                    if len(not_covered) == 0: continue
                    mt = ('' if v_i else '¬') + vars[i] + ('' if v_j else '¬') + vars[j]
                    s = [x[:i]+str(v_i)+x[i:] for x in all_2]
                    s = [x[:j]+str(v_j)+x[j:] for x in s]
                    sop1 = set(map(lambda x: int(x,2), s))
                    if len(sop1 & sop) == 4 and len(sop_covered & sop1) < 4: # if not already covered
                        mts.append(mt)
                        sop_covered |= sop1
                        not_covered = not_covered - sop1
    if len(not_covered) == 0:
        return mts

    # check for minterms with 3 variables similarly (code omitted)
    # ... ... ...
    
    return mts
    
mts = kv_map([0,2,4,5,8,10,11,12,13,15], ['w', 'x', 'y', 'z'])
mts
# ['x¬y', '¬x¬z', 'wyz']

下面的动画展示了上面的代码如何（贪婪地）简化以 SOP 形式给出的布尔函数（基本目标是用最少的 2 次幂块覆盖所有 1）。由于该算法是贪婪的，它可能会卡在某个局部最小值，我们需要小心。

SOP 中的布尔表达式

Boolean expression in SOP

algorithm

boolean

boolean-expression

digital-logic

boolean-algebra