给定 3D 三角形面积，Voronoi 单元的平方面积变化求和？
Summing squared area changes from Voronoi cells given area of triangles in 3D?
我有一个构成表面的 3D 三角形列表（即三角剖分）。该结构是一个变形的三角格子。我想知道晶格的 voronoi tessalation 的变形六边形相对于未变形晶格单元的其余区域（即相对于正六边形）的面积变化。事实上，我真的想要与这些三角形相关联的六边形晶胞面积的平方变化之和。
Background/Math 详情：
我正在用三角格子近似弯曲弹性 sheet。调整 sheet 的泊松比（弹性常数）的一种方法是在能量中添加 'volumetric' 应变能项。我正在尝试计算变形的弹性三角晶格的 'volumetric' 应变能，定义为：U_volumetric = 1/2 T (e_v)^2，其中 e_v=deltaV/V 由 voronoi 单元的面积相对于其参考面积的变化确定，这是一个已知常数。
想要：
Sum[ (DeltaA/ A).^2 ] 所有六边形单元格。
我的数据存储在变量中：
xyz = [ x1,y1,z1; x2,y2,z2; etc] %3Dvertices/particles
TRI = [ vertex0, vertex1, vertex2; etc] %
其中 vertex0 是位于第一个三角形 vertex 0 处的粒子的 xyz 行。
NeighborList = [ p1n1, p1n2, p1n3, p1n4, p1n5,p1n6 ; p2n1...]
% 其中 p1n1 是粒子 1 的第一个最近的邻居作为 xyz 的行索引。例如，xyz(NL(1,1),:) returns 粒子 1 的第一个邻居的 xyz 位置。
AreaTRI = [ areaTRI1; areaTRI2; etc]
我正在用 MATLAB 写这个。
截至目前，我将每个顶点的面积近似为三角形面积的 1/3，然后对 6 个最近的相邻三角形求和。但是 voronoi 单元面积不会完全等于 Sum_(i=0,1,...5) 1/3* areaTRI_i，因此这是一个错误的近似值。请参阅上面 link 中的图像，我认为这更清楚。
您可以使用 DUALMESH 在文件交换中提交：
DUALMESH is a toolbox of mesh processing routines that allow the construction of "dual" meshes based on underlying simplicial triangulations. Support is provided for various planar and surface triangulation types, including non-Delaunay and non-manifold types.
只需使用以下命令生成所有对偶元素区域的向量areas。排序将对应于节点 xyz.
[cp,ce,pv,ev] = makedual2(xyz, TRI);
[~,areas(cp(:,1))] = geomdual2(cp,ce,pv,ev);
您可能想使用以下方法查看边界区域：
trisurf(TRI, xyz(:,1), xyz(:,2), areas);
边界节点的对偶单元理论上是无界的，因此应该有无限大的面积。但是，此提交的处理方式不同：它将 return 无界单元与原始网格的交集，而不是无界单元。
另请注意，如果您使用的网格不是平面的，则您的问题定义不明确，因为双网格单元将是平面的，并且不会像三角形一样缩放。因此，如果您的网格确实是 2D，则此解决方案可能只能正常工作。 （据我所知，你提到的论文也仅适用于二维情况。）
我有一个构成表面的 3D 三角形列表（即三角剖分）。该结构是一个变形的三角格子。我想知道晶格的 voronoi tessalation 的变形六边形相对于未变形晶格单元的其余区域（即相对于正六边形）的面积变化。事实上，我真的想要与这些三角形相关联的六边形晶胞面积的平方变化之和。
Background/Math 详情： 我正在用三角格子近似弯曲弹性 sheet。调整 sheet 的泊松比（弹性常数）的一种方法是在能量中添加 'volumetric' 应变能项。我正在尝试计算变形的弹性三角晶格的 'volumetric' 应变能，定义为：U_volumetric = 1/2 T (e_v)^2，其中 e_v=deltaV/V 由 voronoi 单元的面积相对于其参考面积的变化确定，这是一个已知常数。
想要：
Sum[ (DeltaA/ A).^2 ] 所有六边形单元格。
我的数据存储在变量中：
xyz = [ x1,y1,z1; x2,y2,z2; etc] %3Dvertices/particles
TRI = [ vertex0, vertex1, vertex2; etc] %
其中 vertex0 是位于第一个三角形 vertex 0 处的粒子的 xyz 行。
NeighborList = [ p1n1, p1n2, p1n3, p1n4, p1n5,p1n6 ; p2n1...]
% 其中 p1n1 是粒子 1 的第一个最近的邻居作为 xyz 的行索引。例如，xyz(NL(1,1),:) returns 粒子 1 的第一个邻居的 xyz 位置。
AreaTRI = [ areaTRI1; areaTRI2; etc]
我正在用 MATLAB 写这个。
截至目前，我将每个顶点的面积近似为三角形面积的 1/3，然后对 6 个最近的相邻三角形求和。但是 voronoi 单元面积不会完全等于 Sum_(i=0,1,...5) 1/3* areaTRI_i，因此这是一个错误的近似值。请参阅上面 link 中的图像，我认为这更清楚。
您可以使用 DUALMESH 在文件交换中提交：
DUALMESH is a toolbox of mesh processing routines that allow the construction of "dual" meshes based on underlying simplicial triangulations. Support is provided for various planar and surface triangulation types, including non-Delaunay and non-manifold types.
只需使用以下命令生成所有对偶元素区域的向量areas。排序将对应于节点 xyz.
[cp,ce,pv,ev] = makedual2(xyz, TRI);
[~,areas(cp(:,1))] = geomdual2(cp,ce,pv,ev);
您可能想使用以下方法查看边界区域：
trisurf(TRI, xyz(:,1), xyz(:,2), areas);
边界节点的对偶单元理论上是无界的，因此应该有无限大的面积。但是，此提交的处理方式不同：它将 return 无界单元与原始网格的交集，而不是无界单元。
另请注意，如果您使用的网格不是平面的，则您的问题定义不明确，因为双网格单元将是平面的，并且不会像三角形一样缩放。因此，如果您的网格确实是 2D，则此解决方案可能只能正常工作。 （据我所知，你提到的论文也仅适用于二维情况。）