Circle-Circle 碰撞预测（后续）

Question

圆A沿x轴向右移动。圆 B 沿 y 轴向上移动。我想知道他们是否会发生碰撞。（不是什么时候，只是如果。）

半径相同，恒速不同

This answer 似乎解决了这个问题，我的问题最好是跟进这个问题。（抱歉没有足够的声誉来发表评论。）

我似乎无法解决提供的方程式（如果 t 存在，圆圈将碰撞）：

(Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx)^2 + (Oay + t*Day - Oby - t*Dby)^2 = (ra + rb)^2

这里再次以可读的方式：

(CircleA.initialPosition.x + t*CircleA.velocity.x - 
 CircleB.initialPosition.x - t*CircleB.velocity.x)^2
+
(CircleA.initialPosition.y + t*CircleA.velocity.y - 
 CircleB.initialPosition.y - t*CircleB.velocity.y)^2
=
(CircleA.radius + CircleB.radius)^2

在我的例子中，这有点简单，因为圆沿轴移动（一个轴上的速度为 0）并且半径相同：

(CircleA.initialPosition.x + t*CircleA.velocity.x - 
 CircleB.initialPosition.x)^2
+
(CircleA.initialPosition.y - CircleB.initialPosition.y - 
 t*CircleB.velocity.y)^2
=
(2*radius)^2

还是解决不了，给auto-solver提供的link也帮不了我这个笨脑袋

（特别是我不明白

sqrt(-(D4 - D3)^2)

sqrt() 中的表达式总是负数，所以总是失败。我错过了什么？）

除了自动求解器，我希望有人能展示求解 t 方程的方法（也许版主可以结合这些问题，抱歉给您带来麻烦）。

或者，任何其他解决问题的方法，也许使用我不知道的内置 box2d 功能。

Answer 1

好吧，我想出了如何求解 t 的方程。

(Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx)^2 + (Oay + t*Day - Oby - t*Dby)^2 = (ra + rb)^2


(Oax * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx) + t*Dax * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx)
 - Obx * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx) - t*Dbx * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx))
+
(Oay * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby) + t*Day * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby)
 - Oby * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby) - t*Dby * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby))
=
(ra + rb)^2


Oax^2 + (Oax * t*Dax) - (Oax * Obx) - (Oax * t*Dbx)
 + (t*Dax * Oax) + (t*Dax)^2 - (t*Dax * Obx) - (t*Dax * t*Dbx)
 - (Obx * Oax) - (Obx * t*Dax) + Obx^2 + (Obx * t*Dbx)
 - (t*Dbx * Oax) - (t*Dbx * t*Dax) + (t*Dbx * Obx) + (t*Dbx)^2
+
Oay^2 + (Oay * t*Day) - (Oay * Oby) - (Oay * t*Dby)
 + (t*Day * Oay) + (t*Day)^2 - (t*Day * Oby) - (t*Day * t*Dby)
 - (Oby * Oay) - (Oby * t*Day) + Oby^2 + (Oby * t*Dby)
 - (t*Dby * Oay) - (t*Dby * t*Day) + (t*Dby * Oby) + (t*Dby)^2
=
(ra + rb)^2


t^2 * (Dax^2 +Dbx^2 - (Dax * Dbx) - (Dbx * Dax)
       + Day^2 +Dby^2 - (Day * Dby) - (Dby * Day))
+
t * ((Oax * Dax) - (Oax * Dbx) + (Dax * Oax) - (Dax * Obx)
      - (Obx * Dax) + (Obx * Dbx) - (Dbx * Oax) + (Dbx * Obx)
      + (Oay * Day) - (Oay * Dby) + (Day * Oay) - (Day * Oby)
      - (Oby * Day) + (Oby * Dby) - (Dby * Oay) + (Dby * Oby))
+
Oax^2 - (Oax * Obx) - (Obx * Oax) + Obx^2
  + Oay^2 - (Oay * Oby) - (Oby * Oay) + Oby^2 - (ra + rb)^2
=
0

现在是标准形式的二次方程：

ax2 + bx + c = 0

这样解决了：

x = (−b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a       // this x here is t

其中--

a = Dax^2 +Dbx^2 + Day^2 +Dby^2 - (2 * Dax * Dbx) - (2 * Day * Dby)

b = (2 * Oax * Dax) - (2 * Oax * Dbx) - (2 * Obx * Dax) + (2 * Obx * Dbx)
     + (2 * Oay * Day) - (2 * Oay * Dby) - (2 * Oby * Day) + (2 * Oby * Dby)

c = Oax^2 + Obx^2 + Oay^2 + Oby^2
    - (2 * Oax * Obx) - (2 * Oay * Oby) - (ra + rb)^2

t 存在（会发生碰撞）如果--

(a != 0) && (b^2 >= 4ac)

更新：

正如 Moe Amin Allani 敏锐地观察到的那样，t 的至少一个解必须是正的才能检测到未来的碰撞，而不是据称更早发生的碰撞。

Answer 2

接受的解决方案缺少一些东西。为了解决这个等式：

x = (−b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

这意味着：

x1 = (−b + sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a 和 x2 = (−b - sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

至少 x1 或 x2 需要正值才能正确检测到碰撞。如果两者都是负数，则不会发生碰撞。

Circle-Circle 碰撞预测（后续）

Circle-Circle Collision Prediction (followup)

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linear-algebra

collision

box2d

libgdx