为什么Quaternion.FromToRotation(rotation * axis, axis) * rotation 可以限制一个DOF？

Question

我从 Unity 插件 Final IK 中看到了这行代码。

整个函数是这样的：

//Limits rotation to a single degree of freedom (along axis)

protected static Quaternion Limit1DOF(Quaternion rotation, Vector3 axis) 
{
  return Quaternion.FromToRotation(rotation * axis, axis) * rotation;
}

这看起来既优雅又快速，但我不明白它是如何工作的。为什么这可以限制一个DOF？

Answer 1

直觉上，FromToRotation() 部分正在恢复围绕 axis 以外的轴的任何旋转分量。这是通过将旋转轴推回 axis.

来实现的

更详细一点：您想要找到一个接近 R 的旋转 R1DOF 并且被限制在一个自由度内（关于 axis 的旋转）。因此，您希望将 axis 转换为 R 保留 axis:

R1DOF * axis = axis

我在这里稍微滥用了符号，因为 R 是一个四元数，而四元数的转换不仅仅是一次乘法。让我们声明 * 是转换运算符。

现在，我们将 R1DOF 表示为 M * R，其中 M 是将 R * axis 映射到 axis 的修改旋转。为了清楚起见，我们调用 axisAfterR = R * axis。如果我们这样做，那么：

R1DOF * axis = M * R * axis
             = M * axisAfterR

自从我们定义 M 将 axisAfterR 映射到 axis 后，我们有

             = axis

这正是我们想要的。

因此，axis（以及它的所有倍数）是 R1DOF 的不动点。因此，R1DOF 是关于 axis 的旋转。

为什么Quaternion.FromToRotation(rotation * axis, axis) * rotation 可以限制一个DOF？

Why can Quaternion.FromToRotation(rotation * axis, axis) * rotation limit one DOF?

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