具有三价顶点的 2D 平铺中平铺与顶点的比率

Question

考虑使用多边形拼贴二维 space（拼贴不必具有相同的形状）。如果每个顶点都必须连接到三条线，我们是否可以声明顶点与面的比例？在六边形和截断的六边形拼贴中，该比率为 2:1。但是，如果这是真的，如何证明所有平铺都是如此？

Answer 1

我们可以使用 Euler characteristic chi。它被定义为

chi = v - e + f
v ... number of vertices
e ... number of edges
f ... number of faces

有限平面具有欧拉特性chi = 1，无限平面（类似于环面）具有欧拉特性chi = 0。

给定每个顶点连接到三个边（并且每个边连接到两个顶点）的约束，我们有

2e = 3v

将其代入欧拉特征的定义，我们得到：

chi = v - 3/2 v + f
    = f - 1/2 v

在无限平面(chi = 0)的情况下，我们得到

    0 = f - 1/2 v
1/2 v = f
    v = 2 f

这就是你提到的比率。因此，这不仅适用于六边形拼贴，而且适用于每个顶点连接到三个边的所有拼贴，无论使用什么多边形。