寻找四元数，表示从一个向量到另一个向量的变换
Finding quaternion, representing transformation from one vector to another
简介
以前，我 asked a question 将 rgb 三元数转换为四元数。在那个问题之后我设法得到了单位四元数，但我怀疑它们的内部结构。没有简单的方法来操作它们，并且将 luma 和 chroma 分开，因为它们是单位长度的四元数。根据我的感觉，亮度应该用实部或整数来编码；而颜色“chroma”信息应该在虚部进行编码。
今天我决定改进一下，采用另一种方法，不同于上面 link 中的第一种方法。我认为它可以成功，因为四元数不仅可以存储旋转（单位四元数），还可以存储比例。首先，我将从解释我的下一个想法开始。我将在以下解释中使用 GLSL 着色器语法。
方法描述和问题正文。
对于图像的某些像素，让我们在单位立方体中设想一个 3D 向量 vec3 u，其中正坐标位于封闭范围 [0.0, 1.0] 内，代表完整 rgb 色彩空间。因此，现在 u 的坐标、u.x、u.y 和 u.z 将相应地表示该像素的红色、绿色和蓝色值。然后让我们取一个纯白色的矢量const vec3 v = vec3(1.0, 1.0, 1.0);。让我们定义一些四元数 q，这样我们的向量 u 就是“v，用四元数 q 旋转和缩放”。简单来说，q必须回答"How to transform v, in order to get initially conceived color u?"这个问题。让我们为 "rotate and scale" 操作引入函数：vec3 q2c(in vec4 q, in vec3 v)。我将其称为 "quaternion-to-color" 转换器。
写q2c(q, v)很简单，just as defined: q2c(q, v) == (q*vec4(v, 0.0))*q'. Here, the "*" operator denotes quaternion multiplication; Lets make it a function vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2). And "q'" denotes q's conjugate，写vec4 qconj(in vec4 q)吧。省略它们的简单实现（您可以在完整源代码中找到），我们将使用经典代码：
vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}
现在我们有了 q2c(q,v) 函数，它通过旋转和缩放一些选定的 3D 矢量 v.
将四元数 q 转换为颜色
问题是如何找到那个四元数q？
从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q(in vec3 u, in vec3 v) - 相应的"color to quaternion"转换器。
请注意，如果没有充分的理由，您不应该触摸 q2c()。例如，其逻辑中存在严重错误，导致 "impossibility to solve task"，您可以证明这一点。
你如何检查你的答案是否正确？
确实，如果您设法来回转换，您将获得初始值这一事实会产生检查方法。所以检查条件是对于任何非零长度v，u必须总是等于q2c(c2q(u, v), v)。 v 必须有非零长度，因为不能 "scale zero" 得到 "something".
为了方便起见，我准备了 testing program，使用 shadertoy.com 服务。
你需要一台像样的电脑，有可用的互联网连接和一个支持 webGL 的网络浏览器（我正在使用 Chrome）。程序应该可以在任何 GPU 上运行，甚至可以嵌入到英特尔的处理器中。它甚至适用于我的低端智能手机！
为了测试您的答案，您应该将建议的公式（以 GLSL 语法编写）放入 c2q() 函数中。然后按应用按钮，您的更改将生效：
左边的图像表示一些未更改的源像素。右半部分将包含像素，前后变换 q2c(c2q())。显然，两半在视觉上必须相等，你不应该注意到任何垂直线。一些小的数学（不明显的）错误 可能会出现 ，但这只是由于浮点的性质 - 它的有限精度和可能的舍入错误。
随意编辑和试验，更改只会在您的计算机上本地完成，您不会破坏任何东西。如果视频在第一次打开时没有播放（shadertoy 错误）- 尝试 pause/unpause 它。享受吧！
大厅 c2q() 次尝试
如果一切正确，图像（处理过的）的右侧应该与左侧（原始）相等。在这里，我将回顾不同的结果，这些结果是通过在 c2q() 实现中放置一些东西而不是 xxxxx 获得的：
vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
return xxxxx;
}
让我们继续！
最初我认为这一定行得通：
vec4(cross(u, v), dot(u, v)):
SE answers之一：
vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) ):
并根据他的提示“不要忘记规范化 q”：
normalize(vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) )):
@minorlogic的评论，似乎更近了一步：
将 q 的所有组件缩放 sqrt( length(v)/length(u) )，
vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(u)/length(v) ):
交换比率后：
vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(v)/length(u) ):
我的尝试：
vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
float norm_q = sqrt(length(u) / length(v));
vec4 u4 = vec4(normalize(u), 0.0);
vec4 v4 = vec4(normalize(v), 0.0);
return norm_q * (qmul(u4, v4 + u4) / length(v4 + u4));
}
简介
以前，我 asked a question 将 rgb 三元数转换为四元数。在那个问题之后我设法得到了单位四元数，但我怀疑它们的内部结构。没有简单的方法来操作它们，并且将 luma 和 chroma 分开，因为它们是单位长度的四元数。根据我的感觉，亮度应该用实部或整数来编码；而颜色“chroma”信息应该在虚部进行编码。
今天我决定改进一下，采用另一种方法，不同于上面 link 中的第一种方法。我认为它可以成功，因为四元数不仅可以存储旋转（单位四元数），还可以存储比例。首先，我将从解释我的下一个想法开始。我将在以下解释中使用 GLSL 着色器语法。
方法描述和问题正文。
对于图像的某些像素，让我们在单位立方体中设想一个 3D 向量 vec3 u，其中正坐标位于封闭范围 [0.0, 1.0] 内，代表完整 rgb 色彩空间。因此，现在 u 的坐标、u.x、u.y 和 u.z 将相应地表示该像素的红色、绿色和蓝色值。然后让我们取一个纯白色的矢量const vec3 v = vec3(1.0, 1.0, 1.0);。让我们定义一些四元数 q，这样我们的向量 u 就是“v，用四元数 q 旋转和缩放”。简单来说，q必须回答"How to transform v, in order to get initially conceived color u?"这个问题。让我们为 "rotate and scale" 操作引入函数：vec3 q2c(in vec4 q, in vec3 v)。我将其称为 "quaternion-to-color" 转换器。
写q2c(q, v)很简单，just as defined: q2c(q, v) == (q*vec4(v, 0.0))*q'. Here, the "*" operator denotes quaternion multiplication; Lets make it a function vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2). And "q'" denotes q's conjugate，写vec4 qconj(in vec4 q)吧。省略它们的简单实现（您可以在完整源代码中找到），我们将使用经典代码：
vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}
现在我们有了 q2c(q,v) 函数，它通过旋转和缩放一些选定的 3D 矢量 v.
q 转换为颜色
问题是如何找到那个四元数q？
从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q(in vec3 u, in vec3 v) - 相应的"color to quaternion"转换器。
请注意，如果没有充分的理由，您不应该触摸 q2c()。例如，其逻辑中存在严重错误，导致 "impossibility to solve task"，您可以证明这一点。
你如何检查你的答案是否正确？
确实，如果您设法来回转换，您将获得初始值这一事实会产生检查方法。所以检查条件是对于任何非零长度v，u必须总是等于q2c(c2q(u, v), v)。 v 必须有非零长度，因为不能 "scale zero" 得到 "something".
为了方便起见，我准备了 testing program，使用 shadertoy.com 服务。
你需要一台像样的电脑，有可用的互联网连接和一个支持 webGL 的网络浏览器（我正在使用 Chrome）。程序应该可以在任何 GPU 上运行，甚至可以嵌入到英特尔的处理器中。它甚至适用于我的低端智能手机！
为了测试您的答案，您应该将建议的公式（以 GLSL 语法编写）放入 c2q() 函数中。然后按应用按钮，您的更改将生效：
左边的图像表示一些未更改的源像素。右半部分将包含像素，前后变换 q2c(c2q())。显然，两半在视觉上必须相等，你不应该注意到任何垂直线。一些小的数学（不明显的）错误 可能会出现 ，但这只是由于浮点的性质 - 它的有限精度和可能的舍入错误。
随意编辑和试验，更改只会在您的计算机上本地完成，您不会破坏任何东西。如果视频在第一次打开时没有播放（shadertoy 错误）- 尝试 pause/unpause 它。享受吧！
大厅 c2q() 次尝试
如果一切正确，图像（处理过的）的右侧应该与左侧（原始）相等。在这里，我将回顾不同的结果，这些结果是通过在 c2q() 实现中放置一些东西而不是 xxxxx 获得的：
vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
return xxxxx;
}
让我们继续！
最初我认为这一定行得通：
vec4(cross(u, v), dot(u, v)):SE answers之一：
vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) ):并根据他的提示“不要忘记规范化 q”：
normalize(vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) )):@minorlogic的评论，似乎更近了一步： 将
q的所有组件缩放sqrt( length(v)/length(u) )，vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(u)/length(v) ):交换比率后：
vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(v)/length(u) ):
我的尝试：
vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
float norm_q = sqrt(length(u) / length(v));
vec4 u4 = vec4(normalize(u), 0.0);
vec4 v4 = vec4(normalize(v), 0.0);
return norm_q * (qmul(u4, v4 + u4) / length(v4 + u4));
}